Equazioni di Hamilton: differenze tra le versioni
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L'[[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] <math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)</math> di un [[sistema dinamico]] è una funzione definita nello [[spazio delle fasi]] <math>\R^{2n}</math> composto dalle [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1, \dots q_n) \in \R^n</math> e dai rispettivi momenti coniugati: |
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dove <math>\mathcal{L}</math> è la [[lagrangiana]]. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'[[energia cinetica]] e dell'[[energia potenziale]]. In alcuni casi, per esempio quando agiscono [[forza conservativa|forze non conservative]], è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema. |
dove <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math> è la [[lagrangiana]]. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'[[energia cinetica]] e dell'[[energia potenziale]]. In alcuni casi, per esempio quando agiscono [[forza conservativa|forze non conservative]], è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema. |
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Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref> |
Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref> |
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== Derivazione dalle equazioni di Lagrange == |
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{{Vedi anche|Equazioni di Eulero-Lagrange}} |
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Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà descritto da una [[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}</math>, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange: |
Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà descritto da una [[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math>, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange: |
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:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}= 0</math> |
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}= 0</math> |
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Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le [[coordinate generalizzate]] <math>q_1, \dots , q_n</math> ed i momenti generalizzati <math>p_1, \dots , p_n</math>, definiti da <math>p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot q_i</math>. In tale contesto, la [[trasformazione di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana: |
Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le [[coordinate generalizzate]] <math>q_1, \dots , q_n</math> ed i momenti generalizzati <math>\mathbf p = (p_1, \dots , p_n)</math>, definiti da <math>p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot q_i</math>. In tale contesto, la [[trasformazione di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana: |
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:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math> |
:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math> |
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Si considerino sistemi ad un grado di libertà. |
Si considerino sistemi ad un grado di libertà. In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il [[differenziale (matematica)|differenziale]] di <math>\mathcal{L}(q,\dot q,t)</math>: |
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:<math> \mathrm d \mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial q}\mathrm d q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial \dot q}\mathrm d \dot q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+p \mathrm d \dot q+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+(\mathrm d(\dot qp)-\dot q \mathrm d p)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math> |
:<math> \mathrm d \mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial q}\mathrm d q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial \dot q}\mathrm d \dot q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+p \mathrm d \dot q+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+(\mathrm d(\dot qp)-\dot q \mathrm d p)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math> |
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:<math>\mathrm d(\dot qp-\mathcal{L})=-\dot p \mathrm dq+\dot q \mathrm dp-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math> |
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La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a <math>q</math>, cioè da <math>p</math>. |
La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a <math>\mathbf q</math>, cioè da <math>\mathbf p</math>. |
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Si consideri il differenziale di una funzione <math>\mathcal H(q,p,t)</math>, dipendente da <math>q</math> e <math>p</math>: |
Si consideri il differenziale di una funzione <math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)</math>, dipendente da <math>\mathbf q</math> e <math>\mathbf p</math>: |
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:<math>\mathrm d\mathcal H=\frac{\partial \mathcal H}{\partial q}\mathrm dq+\frac{\partial \mathcal H}{\partial p}\mathrm dp+\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\mathrm dt</math> |
:<math>\mathrm d\mathcal H=\frac{\partial \mathcal H}{\partial q}\mathrm dq+\frac{\partial \mathcal H}{\partial p}\mathrm dp+\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\mathrm dt</math> |
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:<math>\mathcal H(q,p,t)=\dot q(t)p(t)-\mathcal{L}(q,\dot q(q,p,t),t)</math> |
:<math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)=\mathbf \dot q(t) \mathbf p(t)-\mathcal{L}(\mathbf q,\dot \mathbf q( \mathbf q, \mathbf p,t),t)</math> |
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si ottengono le equazioni di Hamilton: |
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:<math> \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p} \qquad \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}</math> |
:<math> \mathbf \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf p} \qquad \mathbf \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf q}</math> |
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e si procede analogamente nel caso di ''n'' coordinate lagrangiane. |
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Versione delle 21:01, 22 set 2015
In meccanica hamiltoniana, le equazioni di Hamilton descrivono l'evoluzione temporale di un sistema fisico a partire dalla funzione che ne descrive l'energia totale, chiamata hamiltoniana. Si tratta di un sistema di equazioni differenziali usato in particolare in meccanica classica e quantistica.[1]
Le equazioni
L'hamiltoniana di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi composto dalle coordinate generalizzate e dai rispettivi momenti coniugati:
dove è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.
Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:[2][3]
ovvero:
Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a e , e pertanto scambiare con e con le lascia invariate.
Derivazione dalle equazioni di Lagrange
Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana , l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:
Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate ed i momenti generalizzati , definiti da . In tale contesto, la trasformazione di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:
Si considerino sistemi ad un grado di libertà. In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di :
da cui:
La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a , cioè da .
Si consideri il differenziale di una funzione , dipendente da e :
Se si pone:
si ottengono le equazioni di Hamilton:
e si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.
Se una coordinata è una coordinata ciclica per la Lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se non dipende esplicitamente dal tempo) allora stessa è una costante del moto. Si deve notare che in tale procedura non rappresenta necessariamente l'energia del sistema.
Principio variazionale
Le equazioni di Hamilton si possono ricavare da un principio variazionale. In tal caso il principio variazionale di Hamilton si scrive:
ed è definito nello spazio delle fasi. Il principio ci dice che il punto rappresentativo del moto nello spazio delle fasi tra deve soddisfare il principio di Hamilton annullando l'integrale variazionale mantenendo costante il tempo tra e , il che significa che l'integrale ha un estremo in corrispondenza di tutte le traiettorie tra i due tempi.
Note
- ^ 16.3 The Hamiltonian, in MIT OpenCourseWare website 18.013A. URL consultato il febbraio 2007.
- ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
- ^ The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1
Bibliografia
- G. Benettin, Appunti per il corso di meccanica analitica (PDF), Padova, 2014.
- (IT) G. Andreassi Meccanica Hamiltoniana classica Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
- (IT) A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
- (EN) Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
- (EN) Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
- (EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
- (EN) Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)
Voci correlate
- Azione (fisica)
- Coordinate generalizzate
- Calcolo delle variazioni
- Lagrangiana
- Meccanica hamiltoniana
- Meccanica lagrangiana
- Metodo variazionale
- Principio di Fermat
- Principio di Maupertuis
- Principio variazionale di Hamilton
- Teoria di Hamilton-Jacobi
Collegamenti esterni
- (EN) Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
- (EN) Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
- (EN) Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
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