Geometria differenziale delle curve: differenze tra le versioni

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In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni

Definizioni di base

Una curva è una funzione continua

f:I\to \mathbb {R} ^{n}

dove $I$ è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio $[0,1]$ ; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera $t$ e per la funzione si usa spesso la notazione $f(t)$ . In questa voce, supporremmo che $f$ sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima $f'(t)$ sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo $I$ .

Per supporto di $f$ si intende la immagine di tale funzione. Se $f$ è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione

Una riparametrizzazione di $f$ è un'altra curva $g$ tale che

g=f\circ p

dove $p:J\rightarrow I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e $J$ è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con $I$ . In questo caso le curve $f$ e $g$ , benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva $f$ definita su un intervallo chiuso $I=[a,b]$ è fornita da:

L=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma $[0,T]$ e pensiamo che la variabile $t$ esprima il tempo per un corpo puntiforme $P$ che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a $T$ ; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante $t$ è:

s(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(u)\vert du

La funzione sempre crescente $s(t)$ stabilisce una biiezione tra gli intervalli $[0,T]$ e $[0,L]$ e porta ad una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:

f(t)~=~f_{0}(s(t))

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco $f_{0}$ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pari a 1:

\vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di $n$ vettori ortonormali $e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)\,\!$ dipendenti da $t$ , utili per descrivere il comportamento locale della curva in $f(t)$ .

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate $f'(t),f''(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!$ siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come:

\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni

Nel piano, il primo vettore di Frenet $e_{1}(t)$ è la tangente alla curva al tempo $t$ , mentre il vettore $e_{2}(t)$ , detto vettore normale è il vettore normale a $e_{1}(t)$ , nella direzione in cui curva. La curvatura:

\kappa (t)=\chi _{1}(t)

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:

{\frac {1}{\kappa (t)}}

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio $r$ ha curvatura costante $1/r$ , mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a $e_{1}(t)$ e di raggio $1/\kappa$ . Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo $t$ "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di $f$ nel punto.

In tre dimensioni

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente

Il primo vettore di Frenet $e_{1}$ è il vettore tangente, definito quindi come:

\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}

Se $f$ è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

\mathbf {e} _{1}(t)=f'(t).

Versore normale

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:

\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)|}}{\mbox{, }}\quad {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto $t$ .

Curvatura

La prima curvatura generalizzata χ₁(t) è chiamata semplicemente curvatura di $f$ in $t$ , ed è data da

\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|f^{'}(t)|}}

Il reciproco della curvatura

{\frac {1}{\kappa (t)}}

è il raggio di curvatura nel punto $t$ .

Vettore binormale

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet $e_{3}(t)$ : è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come:

\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)

Torsione

La seconda curvatura generalizzata χ₂(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|f'(t)|}}

Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ_i.

2 dimensioni

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}

3 dimensioni

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}

n dimensioni (formula generale)

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}

Proprietà delle curvature

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date $n$ funzioni:

\chi _{i}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n

sufficientemente differenziabili, con:

\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1

esiste un'unica curva $f$ avente quelle curvature, a meno di traslazioni ed altre isometrie dello spazio euclideo.

Voci correlate

Bibliografia

E. Cesàro Lezioni di geometria intrinseca (1896)

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 Una ''curva'' è una [[funzione continua]]
 :<math> f:I\to \mathbb R^n </math>
-dove '''<math>I</math>''' è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] dei [[numeri reali]], come ad esempio <math> [0, 1] </math>; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera ''t'' e per la funzione si usa spesso la notazione ''f''(''t''). In questa voce, supporremmo che <math> f </math> sia una [[funzione differenziabile]] sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima <math> f'(t) </math> sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo ''I''.
+dove <math>I</math> è un [[intervallo (matematica)|intervallo]] dei [[numeri reali]], come ad esempio <math> [0, 1] </math>; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera <math>t</math> e per la funzione si usa spesso la notazione <math>f(t)</math>. In questa voce, supporremmo che <math> f </math> sia una [[funzione differenziabile]] sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima <math> f'(t) </math> sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo <math>I</math>.
-Per ''supporto'' di <math> f </math> si intende la [[immagine (matematica)|immagine]] di tale funzione. Se <math> f </math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]], la curva si dice '''semplice'''.
+Per ''supporto'' di <math> f </math> si intende la [[immagine (matematica)|immagine]] di tale funzione. Se <math> f </math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]], la curva si dice ''semplice''.
 === Lunghezza e parametrizzazione ===
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 Una ''riparametrizzazione'' di <math> f </math> è un'altra curva <math> g </math> tale che
 :<math> g = f \circ p </math>
-dove <math>p:J \rightarrow I</math> è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]] differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi [[funzione crescente|crescente]]) e ''J'' è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con ''I''. In questo caso le curve <math> f </math> e <math> g </math>, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
+dove <math>p:J \rightarrow I</math> è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]] differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi [[funzione crescente|crescente]]) e <math>J</math> è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con <math>I</math>. In questo caso le curve <math> f </math> e <math> g </math>, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.
-La ''lunghezza'' di una curva <math> f </math> definita su un intervallo chiuso <math> I = [a,b] </math> è fornita da
+La ''lunghezza'' di una curva <math> f </math> definita su un intervallo chiuso <math> I = [a,b] </math> è fornita da:
 :<math>L = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt</math>
-La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma <math>[0,T]</math> e pensiamo che la variabile ''t'' esprima il tempo per un corpo puntiforme ''P'' che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a ''T''; abbiamo quindi un ''modello cinematico'' della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante ''t'' è
+La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma <math>[0,T]</math> e pensiamo che la variabile <math>t</math> esprima il tempo per un corpo puntiforme <math>P</math> che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a <math>T</math>; abbiamo quindi un ''modello cinematico'' della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante <math>t</math> è:
-:<math>s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du.</math>
+:<math>s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du</math>
-La funzione sempre crescente ''s''(''t'') stabilisce una biiezione tra gli intervalli <math>[0,T]</math> e <math>[0,L]</math> e porta ad una riparametrizzazione della curva: scrivendo
+La funzione sempre crescente <math>s(t)</math> stabilisce una biiezione tra gli intervalli <math>[0,T]</math> e <math>[0,L]</math> e porta ad una riparametrizzazione della curva. Scrivendo:
 :<math>f(t) ~=~ f_0 (s(t))</math>
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 == Sistema di Frenet ==
-Un '''sistema di Frenet''' è un [[sistema di riferimento]] mobile di <math> n </math> [[base ortonormale|vettori ortonormali]]
+Un ''sistema di Frenet'' è un [[sistema di riferimento]] mobile di <math> n </math> [[base ortonormale|vettori ortonormali]] <math> e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! </math> dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math> f(t) </math>.
-:<math> e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\! </math>
-dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math> f(t) </math>.
-Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia ''regolare'', cioè che le derivate
+Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia ''regolare'', cioè che le derivate <math> f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! </math> siano [[linearmente indipendenti]], e quindi formino una [[base (algebra lineare)|base]]. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di [[ortonormalizzazione di Gram-Schmidt]].
-:<math> f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! </math>
+Le ''curvature generalizzate'' sono definite come:
-siano [[linearmente indipendenti]], e quindi formino una [[base (algebra lineare)|base]]. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di [[ortonormalizzazione di Gram-Schmidt]].
-Le '''curvature generalizzate''' sono definite come
 :<math>\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{| f'(t) |}. </math>
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 == In due dimensioni ==
 [[Immagine:Osculating circle.svg|thumb|right|Il cerchio osculatore]]
-Nel piano, il primo vettore di Frenet <math> e_1(t) </math> è la '''tangente''' alla curva al tempo <math> t </math>, mentre il vettore <math> e_2(t) </math>, detto '''vettore normale''' è il vettore normale a <math> e_1(t) </math>, nella direzione in cui curva. La '''curvatura'''
+Nel piano, il primo vettore di Frenet <math> e_1(t) </math> è la ''tangente'' alla curva al tempo <math> t </math>, mentre il vettore <math> e_2(t) </math>, detto ''vettore normale'' è il vettore normale a <math> e_1(t) </math>, nella direzione in cui curva. La ''curvatura'':
 :<math>\kappa(t) = \chi_1(t)</math>
-indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco
+indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco:
 :<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
-è chiamato '''raggio di curvatura'''. Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math> r </math> ha curvatura costante <math> 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
-Il '''cerchio osculatore''' è il cerchio tangente a <math> e_1(t) </math> e di raggio <math> 1/\kappa </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo <math> t </math> "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math> f </math> nel punto.
+è chiamato ''raggio di curvatura''. Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math> r </math> ha curvatura costante <math> 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
+Il ''cerchio osculatore'' è il cerchio tangente a <math> e_1(t) </math> e di raggio <math> 1/\kappa </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo <math> t </math> "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math> f </math> nel punto.
 == In tre dimensioni ==
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 === Vettore tangente ===
-Il primo vettore di Frenet <math> e_1 </math> è il '''vettore tangente''', definito quindi come
+Il primo vettore di Frenet <math> e_1 </math> è il ''vettore tangente'', definito quindi come:
-:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}.</math>
+:<math>\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}</math>
 Se <math> f </math> è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a
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 === Versore normale ===
-Il '''versore normale''' misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come
+Il ''versore normale'' misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come:
 :<math>\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |}
 \mbox{, } \quad
-\overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).</math>
+\overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)</math>
-I vettori tangente e normale [[span lineare|generano]] un piano, chiamato '''piano osculatore''' della curva al punto <math> t </math>.
+I vettori tangente e normale [[span lineare|generano]] un piano, chiamato ''piano osculatore'' della curva al punto <math> t </math>.
 === Curvatura ===
-La prima curvatura generalizzata χ<sub>1</sub>(''t'') è chiamata semplicemente '''curvatura''' di <math> f </math> in <math> t </math>, ed è data da
+La prima curvatura generalizzata χ<sub>1</sub>(''t'') è chiamata semplicemente ''curvatura'' di <math> f </math> in <math> t </math>, ed è data da
-:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}.</math>
+:<math>\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}</math>
 Il reciproco della curvatura
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 :<math>\frac{1}{\kappa(t)}</math>
-è il '''raggio di curvatura''' nel punto <math> t </math>.
+è il ''raggio di curvatura'' nel punto <math> t </math>.
 === Vettore binormale ===
-Il '''vettore binormale''' è il terzo vettore di Frenet <math> e_3(t) </math>: è ortogonale al piano osculatore, definito con il [[prodotto vettoriale]] semplicemente come
+Il ''vettore binormale'' è il terzo vettore di Frenet <math> e_3(t) </math>: è ortogonale al piano osculatore, definito con il [[prodotto vettoriale]] semplicemente come:
-:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t).</math>
+:<math>\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)</math>
 === Torsione ===
-La seconda curvatura generalizzata χ<sub>2</sub>(''t'') è chiamata '''torsione''' e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una [[curva piana]].
+La seconda curvatura generalizzata χ<sub>2</sub>(''t'') è chiamata ''torsione'' e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una [[curva piana]].
-:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}.</math>
+:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}</math>
 == Formule di Frenet-Serret ==
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 == Proprietà delle curvature ==
-Le curvature determinano la curva. Formalmente, date <math> n </math> funzioni
+Le curvature determinano la curva. Formalmente, date <math> n </math> funzioni:
 :<math>\chi_i:[a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n</math>
-sufficientemente differenziabili, con
+sufficientemente differenziabili, con:
 :<math>\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1</math>
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 {{Portale|matematica}}
 [[Categoria:Curve]]
 [[Categoria:Geometria differenziale]]

Geometria differenziale delle curve: differenze tra le versioni

Versione delle 03:09, 31 dic 2012

Indice

Definizioni

Definizioni di base

Lunghezza e parametrizzazione

Sistema di Frenet

In due dimensioni

In tre dimensioni

Vettore tangente

Versore normale

Curvatura

Vettore binormale

Torsione

Formule di Frenet-Serret

2 dimensioni

3 dimensioni

n dimensioni (formula generale)

Proprietà delle curvature

Voci correlate

Bibliografia

Menu di navigazione

Geometria differenziale delle curve: differenze tra le versioni

Versione delle 03:09, 31 dic 2012

Definizioni

Definizioni di base

Lunghezza e parametrizzazione

Sistema di Frenet

In due dimensioni

In tre dimensioni

Vettore tangente

Versore normale

Curvatura

Vettore binormale

Torsione

Formule di Frenet-Serret

2 dimensioni

3 dimensioni

n dimensioni (formula generale)

Proprietà delle curvature

Voci correlate

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