Funzione càdlàg

Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra) o più semplicemente (ma erroneamente) cadlag è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi

• Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
• Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.

Spazio di Skorokhod

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio $E$ a valori nello spazio metrico $M$ viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con $D(E;M)$. Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo $[0,T]$ con $T$ finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni $F\subseteq E$, sia

$w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|$

l'oscillazione di $f$ su $F$; per $\delta >0$, definiamo allora il modulo càdlàg come

$\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),$

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni $\Pi$ dell'intervallo $E$ con mesh minore di $\delta$. Si può provare che $f$ è càdlàg se e solo se $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ quando $\delta \to 0$.

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

$\sigma (f,g):=\inf _{\lambda }\max\{\|\lambda -id_{E}\|_{\infty },\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }\}$,

dove $id_{E}$ è l'identità di $E$, $\|\cdot \|_{\infty }$ è la norma uniforme e $\lambda$ varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su $E$. Si dimostra che effettivamente $\sigma$ è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine $\|\lambda -id_{E}\|_{\infty }$ misura la "distorsione nel tempo" e il termine $\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }$ la "distorsione nello spazio".

Proprietà

Lo spazio $D(E;M)$ contiene lo spazio $C(E;M)$ delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica $\sigma$ non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a $\sigma$ per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche $\sigma$) rende inoltre $D(E;M)$ uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su $D$ è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

• $\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,$
• $\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$

con la seconda valida per ogni $\varepsilon >0$.

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate

• Funzione di ripartizione
• Funzione semicontinua
• Processo stocastico
• Anatoliy Skorokhod