Spazio di de Sitter

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In matematica e fisica, uno spazio di de Sitter è l'analogo, nello spazio-tempo di Minkowski, di una sfera nell'ordinario spazio euclideo. Uno spazio di de Sitter n-dimensionale, denotato dSn, è la varietà lorentziana analoga ad una n-sfera (con la sua metrica Riemanniana canonica); esso è massimamente simmetrico, ha una curvatura scalare costante e positiva ed è semplicemente connesso per n ≥3. Lo spazio de Sitter, così come lo spazio Anti de Sitter prende il nome da Willem de Sitter (1872–1934), professore di astronomia alla Università di Leiden e direttore del Leiden Observatory. Willem de Sitter e Albert Einstein lavorarono insieme negli anni 20 del 900 a Leida sulla struttura spazio-temporale dell'universo.

Nel linguaggio della relatività generale, lo spazio de Sitter è la più simmetrica soluzione del vuoto delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva (repulsiva) (corrispondente ad una densità di energia del vuoto positiva e pressione negativa). Nel caso n = 4 (3 dimensioni spaziali più tempo), esso è il modello cosmologico dell'universo fisico; vedi universo di de Sitter.

Lo spazio di de Sitter fu formulato indipendentemente e contemporaneamente da Willem de Sitter[1][2] e Tullio Levi-Civita[3].

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio di de Sitter può essere definito come una sottovarietà di uno spazio di Minkowski aumentato di una dimensione. Si consideri lo spazio di Minkowski R1,n con la metrica standard:

Lo spazio di de Sitter dSn è la sottovarietà descritta da un iperboloide a una falda

dove è una constante positiva.

La metrica standard dello spazio ambiente R1,n induce sulla sottovarietà di de Sitter una forma bilineare non degenere che ha ancora segnatura Lorentziana. Lo spazio di de Sitter è dunque una varietà pseudo-Riemanniana.

Lo spazio di De Sitter può anche essere definito come il quoziente topologico O(1,n)/O(1,n−1) di due gruppi pseudo ortogonali, e questo mostra che esso è una varietà pseudo-Riemanniana simmetrica.

Dal punto di vista topologico, lo spazio di de Sitter è il prodotto R × Sn−1 (per cui se n ≥ 3 allora lo spazio di de Sitter risulta semplicemente connesso).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo di isometrie dello spazio de Sitter è il gruppo di Lorentz O(1,n). La metrica ha quindi n(n + 1)/2 vettori di Killing indipendenti ed è al massimamente simmetrica. Ogni spazio massimamente simmetrico ha curvatura costante. Il tensore di curvatura di Riemann per de Sitter è dato da

Lo spazio di de Sitter è una varietà di Einstein poiché il tensore di Ricci è proporzionale alla metrica:

Ciò significa che lo spazio di de Sitter è una soluzione del vuoto delle equazioni di campo di Einstein, avente una costante cosmologica positiva data da:

La curvatura scalare dello spazio di de Sitter è data da:

Per il caso n = 4, abbiamo Λ = 3/α2 e R = 4Λ = 12/α2.

Coordinate statiche[modifica | modifica wikitesto]

Si possono introdurre delle coordinate statiche per lo spazio de Sitter come segue:

dove le coordinate realizzano l'immersione canonica della (n−2)-sfera in Rn−1. In queste coordinate la metrica de Sitter prende la forma:

È interessante notare che è presente un orizzonte cosmologico per .

Taglio di coordinate piatto[modifica | modifica wikitesto]

Posto

dove . Allora in coordinate metriche :

dove è la metrica piatta .

Taglio di coordinate aperto[modifica | modifica wikitesto]

Posto

dove descrive con la metrica standard . Allora la metrica de Sitter si legge:

dove

è la metrica di uno spazio Euclideo iperbolico.

Taglio di coordinate chiuso[modifica | modifica wikitesto]

Posto

dove s descrive . La metrica si legge:

Cambiando la variabile tempo al tempo conformazionale tramite si ottiene una metrica equivalente a universo statico di Einstein:

Questo serve per trovare il diagramma di Penrose dello spazio de Sitter.

Taglio di coordinate dS[modifica | modifica wikitesto]

Posto

dove s descrive . La metrica si legge:

dove

è la metrica di uno spazio dimensionale de Sitter con raggio di curvatura in coordinate aperte. La metrica iperbolica è data da:

Questa è la continuazione analitica del taglio di coordinate aperto sotto anche commutando and perché cambiano la loro natura spazio temporale.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) W. de Sitter, On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis, in Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., vol. 19, 1917, pp. 1217–1225.
  2. ^ (EN) W. de Sitter, On the curvature of space, in Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., vol. 20, 1917, pp. 229–243.
  3. ^ Tullio Levi-Civita, Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi, in Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei, vol. 26, 1917, pp. 519–31.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]