Sillogismo

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Schema tipico di un sillogismo: se M è A e B è M, allora B sarà anche A. Facendo un esempio concreto si ponga che M è l'insieme dei dolci, B quello delle torte e A quello degli alimenti: tutti i dolci sono alimenti e tutte le torte sono dolci per cui ne consegue che tutte le torte sono alimenti

Il sillogismo (dal greco συλλογισμός, syllogismòs, formato da σύν, syn, "insieme", e λογισμός, logismòs, "calcolo": quindi, "ragionamento concatenato") è un tipo di ragionamento dimostrativo che fu teorizzato per la prima volta da Aristotele, il quale, partendo dai tre tipi di termine "maggiore" (che funge da predicato nella conclusione), "medio" e "minore" (che nella conclusione funge da soggetto) classificati in base al rapporto contenente - contenuto, giunge ad una conclusione collegando i suddetti termini attraverso brevi enunciati (premesse).

La filosofia scolastica ha formalizzato che se una singola premessa oppure entrambe le premesse sono false, la proposizione conseguente è necessariamente falsa. Invece, se le premesse sono entrambe vere, la conclusione può essere comunque falsa, come mostrano i cosiddetti paradossi logici che restano il principale limite di una logica formale, ovvero che prescinde dal contenuto dei singoli soggetti e predicati inseriti al posto delle lettere. Pertanto, il sillogismo è uno strumento necessario, ma di per sé non sufficiente per arrivare alla verità. Esempio: Le mele sono verdi -> io sono verde= io sono una mela

Aristotele[modifica | modifica wikitesto]

Fino alla prima metà del XII secolo, i lavori del filosofo greco Aristotele erano noti in minima parte: le Categorie e il trattato Sull'interpretazione, che dettarono le basi della cosiddetta Logica vetus. Con il trattato Ἀναλυτικὰ Πρότερα (Latino: Analytica Priora) in cui Aristotele sviluppa la teoria del sillogismo, vengono gettate le basi della cosiddetta Logica nova.

Il trattato Analytica Priora fin dall'inizio fu visto dai logici di tutto il mondo come un corpo dottrinale chiuso e completo, che lasciava aperte ben poche questioni irrisolte sulle quali dibattere. Nel corso del tempo subì pochi cambiamenti minori, fino alla risistematizzazione di tutta la logica iniziata nel XIV° secolo da pensatori del calibro di Giovanni Buridano.

Gli Analytica Priora ad esempio non incorporano la teoria del sillogismo nel più generale ambito del sillogismo modale, quello che contiene in almeno una delle due premesse, una parola logica del tipo "necessariamente", "è possibile che" / "forse", "in modo contingente". La terminologia di Aristotele in questo aspetto della sua teoria è stata ritenuta vaga e, in molti casi poco chiara, anche contraddicendo alcune sue dichiarazioni nel De Interpretatione. Le sue affermazioni originali su quelli che oggi chiamiamo sillogismi modali, hanno generato una vasta gamma di soluzioni proposte dai commentatori odierni: il sistema di sillogismi modali stabiliti da Aristotele sarebbe in ultima istanza ritenuto inadatto per l'uso pratico, e sarebbe stato sostituito del tutto da nuove distinzioni e nuove teorie.

Il filosofo e logico John Corcoran svolse una comparazione punto per punto degli Analytica Priora di Aristotele e Laws of Thought di Boole[1], e sottolineò con enfasi come la logica booleana riprendeva e confermava totalmente quella aristotelica. Boole si prefisse gli obbiettivi di:

  1. dotare la logica di basi matematiche che coinvolgono equazioni,
  2. estendere la classe di problemi che si potevano trattare grazie all'aver impiegato la risoluzione di equazioni per la valutazione di validità logica,
  3. ampliare il campo di applicazione, ad esempio da proposizioni che hanno solo due termini a proposizioni che ne hanno un numero arbitrario.

Tipi di sillogismo[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sillogismo categorico in forma normale.

Le proposizioni possono essere divise sotto tre aspetti:

  1. Quantitativo: universali o particolari (individuali)
  2. Qualitativo: affermativa o negativa
  3. Modale:
    1. possibili: non è in un modo, ma potrebbe esserlo (non piove, ma potrebbe cominciare)
    2. contingenti: è in un modo, ma potrebbe non esserlo (piove, ma potrebbe non piovere)
    3. impossibili: ciò che non è, e che non può essere
    4. necessarie: ciò che è, e che non potrebbe non essere

L'impossibilità è una forma di necessità: dire che una cosa è impossibile significa dire che è necessario che non sia.

La forma di sillogismo più comune è il sillogismo categorico [non chiaro] (al punto che solitamente per sillogismo si intende sillogismo categorico).

Le proposizioni che compongono un sillogismo categorico possono essere:

  • universali affermative ("Tutti gli A sono B"),
  • universali negative ("Nessun A è B"),
  • particolari affermative ("Qualche A è B"),
  • particolari negative ("Qualche A non è B").

La posizione del termine medio nelle due premesse determina la figura del sillogismo: Aristotele ne classificò tre, gli scolastici ne aggiunsero una quarta. La forma delle proposizioni contenute nel sillogismo ne determina il modo; la filosofia scolastica classificò i modi del sillogismo adoperando la prima o la seconda vocale (rispettivamente se universale o particolare) dei verbi affirmo e nego.

Per fare un esempio:

  • (premessa maggiore) Tutti gli uomini sono mortali
  • (premessa minore) Tutti i greci sono uomini
  • (conclusione) Dunque tutti i greci sono mortali

Nell'esempio in questione, uomo, mortale e greco sono termini (rispettivamente medio, maggiore e minore).

A questo modello detto sillogismo categorico o perfetto (in cui cioè le due premesse portano deduttivamente ad una conclusione che è logica e necessaria) se ne aggiungono altri tre, tra cui il sillogismo retorico (detto anche “dialettico”), in cui le due “premesse” sono date per probabili e non per certe; il sillogismo sofistico (tipico della scuola sofistica, in cui la probabilità delle “premesse” è solo apparente ed ipotetica); il sillogismo modale, in cui una delle “premesse” e la “conclusione” del sillogismo dipendono dalle modalità con cui stabiliamo se le affermazioni sono vere o false.

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Logica modale.

Nella logica moderna, si aggiunge anche il sillogismo disgiuntivo.

Presupposti[modifica | modifica wikitesto]

Le premesse devono essere enunciati di tipo dichiarativo (che dicono qualcosa di qualcosa), di cui cioè si possa dire univocamente se sono veri oppure falsi. Non sono enunciati di tipo dichiarativo le preghiere, le esclamazioni, le domande, i comandi non dichiarativi, il paradosso del mentitore, gli enunciati modali (credo che, so che, può essere, deve essere necessariamente).

Presupposti del sillogismo sono il principio di determinatezza e il principio di bivalenza dei singoli enunciati dichiarativi, che vanno applicati (separatamente) sia alla premessa maggiore che alla premessa minore: la premessa necessariamente sempre o è vera o è falsa, non può trovarsi contemporaneamente nello stato di "vero" e nello stato di "falso", né può non appartenere a uno di questi due stati (non essere né "vera" né "falsa").

In termini equivalenti, per le due premesse, in tutti i tipi di sillogismo noti, sono presupposti: legge dell'identità , legge di non-contraddizione, legge del terzo escluso. Se la legge di identità vale anche per enunciati non dichiarativi (es. paradosso del mentitore), il principio di determinatezza può essere fatto corrispondere (biunivocamente) al principio di non-contraddizione, e il principio di bivalenza al principio del terzo escluso.

Stessi presupposti valgono per la conclusione. In tutti i tipi di sillogismo, se le premessa maggiore e minore sono due enunciati di tipo dichiarativo, anche la conclusione è necessariamente un enunciato di tipo dichiarativo (o è vera o è falsa), ragioni per cui è superfluo ipotizzare che la conclusione sia un enunciato di tipo dichiarativo, essendo questo conseguenza logica della natura delle premesse.

La proprietà transitiva è l'esempio più elementare del sillogismo in logica matematica (soggetti singolare e stessa relazione nelle due premesse), ad esempio:

  1. Marco è fratello maggiore di Luca;
  2. Luca è fratello maggiore di Alberto;
  3. Marco è fratello maggiore di Alberto.

Il sillogismo è in generale un concetto più ampio che si serve anche del quantificatore esistenziale e operatore di negazione.

In logica matematica, un ragionamento si dice valido, corretto o (sintatticamente) ben formato se e solo se non può darsi il caso in cui le proposizioni siano vere e la conclusione sia falsa; in termini equivalenti, si dice che la conclusione è conseguenza logica delle premesse.

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Validità (logica).

Validità e verità degli enunciati sono concetti distinti e indipendenti: è possibile che sia da due enunciati veri che da due enunciati entrambi falsi si arrivi ad una conclusione vera (per gli operatori booleani, non per il sillogismo); viceversa, come nei cosiddetti paradossi logici, è possibile con premesse entrambe vere, la conclusione sia falsa (es. tutti gli uomini volano; tutti gli uomini sono asini; tutti gli asini volano), se il ragionamento non è valido formalmente.

Il sillogismo nulla dice circa la verità o falsità della premessa maggiore e minore.

Premessa maggiore e premessa minore sono legati tra loro da un unico connettivo logico di congiunzione, e l'insieme delle premesse è legato alla conclusione da un connettivo di Implicazione logica. Il sillogismo può essere riscritto (e risolto) nell'ambito della logica booleana con la congiungzione delle premesse, implicazione della conclusione, quantificatori. Dalla tavola di verità della congiunzione si evince che l'insieme delle premesse è vero se ogni singola premessa è vera; da quella dell'implicazione si evince che se le premesse sono vere, la conclusione è vera, ciò che fuori dall'algebra booleana e nella teoria del sillogismo definisce anche la correttezza di una particolare forma di sillogismo. Le premsse in forma di universale o particolare, positivo o negativo, sono rese con l'uso dei quantificatori:

(Ogni A è B) (Per ogni x, se x è A, allora x è B),oppure
(Ogni A è B) (Per ogni x tale che x è A, allora x è B), detto anche quantificatore ristretto[2]. In questo secondo caso:
Ogni amico di Maria è scapolo, (3)

se <<Maria non ha amici>>, vale a dire se la condizione del quantificatore ristretto "Ogni amico di Maria" è falsa, la proposizione (3) non sarà né vera né falsa, né un terzo nuovo valore di verità, ma un valore di verità non-ammissibile, priva di ogni valore di verità.
Per questo motivo, non si può dire che la premessa è uguale alla congiunzione di soggetto e predicato: la (3) non equivale a <<x è amico di Maria>> (3a) <<x è scapolo>>(3b), perché secondo la tavola di verità se (3a) è falso, dovrebbe esserlo anche la (3).
La logica moderna non accetta in genere l'inferenza: "Ogni A è B" implichi che è vero che "Qualche A è B" (ciò che i logici medioevali chiamavano reductio ad subalternam): dall'esempio si vede però che una proposizione categorica è giudicabile come vera o falsa soltanto se è soddisfatta la sua condizione esistenziale pertinente. Se usiamo il quantificatore ristretto, vale il quadrato di Boezio in uso nella logica antica e medioevale[3], detto dai logici moderni anche quadrato di opposizione fra le proposizioni categoriche (o semplicemente quadrato delle opposizioni), che elenca le forme di inferenza valide per le proposizioni universali o particolari.
Ciò che garantisce la validità del sillogismo, è la struttura interna delle premesse che devono essere enunciati atomici, cioè privi di connettivi logici.

All'interno della premessa maggiore e minore si usa anche l'operatore di negazione.

Così formulato, la congiunzione delle due premesse e la loro implicazione logica con la conclusione, danno luogo alla seguente tabella di verità: Tabella di verità:

P p A = Pp A B A ()A
V V V V V V V V
V F F V F F V F
F V F F V V F F
F F F F F V F F

La tabella di verità si ottiene dalla congiunzione A delle premessa maggiore P e minore p, implicazione logica della conclusione B, di nuovo congiunzione con l'insieme delle premesse A.

Notiamo che

  • nelle teorie del primo ordine le conclusioni del sillogismo possono essere fatte ricadere sempre in uno dei due casi "dimostrato" o "non dimostrato" (così come la premessa maggiore o minore, o è "vera" oppure è "falsa");
  • internamente a premesse e conclusione, le proprietà valgono su insiemi con un numero finito di elementi, e -se c'è il quantificatore universale- sono valide per tutti gli elementi ed su ogni eventuale sottoinsieme: es. "tutti i viventi sono mortali" = ogni singolo elemento ed eventuale sottoinsieme esistente nell'insieme finito dei "viventi", ha la proprietà di essere un "mortale";
  • se due elementi sono uguali, non c'è modo di distinguerli dato che: "tutto ciò che è vero per uno, è vero per l'altro" (Uguaglianza (matematica)). Tutto ciò che è vero per i "viventi", è vero anche per i "mortali", e viceversa tutto ciò che si può dire per i "mortali" si può dire anche per i "viventi": l'assioma di uguaglianza può essere scritto come nei linguaggi del secondo ordine, per qualsiasi predicato, dell'una o dell'altra variabile;
  • l'uso dei connettivi logici fondamentali è limitato a quelli di congiunzione, implicazione e negazione, e con la presenza di quantificatori universali e particolari che operano su un numero finito di elementi, ma che diversamente da un Linguaggio del primo ordine(di cui è un tipo la logica booleana, detta anche elementare) sono veri per tutti i sottoinsiemi, come detto in precedenza.

Validità del sillogismo[modifica | modifica wikitesto]

Un secondo esempio più significativo può essere:

  • (premessa maggiore) Ogni animale è mortale
  • (premessa minore) Ogni uomo è animale
  • (conclusione) Dunque ogni uomo è mortale

Il termine medio è l'elemento grazie al quale avviene l'unione e funge da connessione fra gli altri due;questo perché il termine medio (l'animale) da una parte è incluso nel termine maggiore (mortale) e dall'altra include in sé il termine minore (uomo).

Un sillogismo è considerato valido se questo è logicamente valido. La validità di un sillogismo non dipende dalla verità delle affermazioni che lo compongono. Sicché il sillogismo:

  • Ogni animale vola
  • L'asino è un animale
  • Dunque l'asino vola

è valido, anche se le frasi che lo compongono non sono vere. Un metodo, o definizione rozza, che spesso viene usata, è dire che "un sillogismo è valido se ogni sillogismo della stessa forma che contiene proposizioni vere conclude correttamente". Questo metodo tuttavia non ha dignità logica, in quanto, seppur funzionante, non utilizza alcuna "logica". Un sillogismo che contiene tutte proposizioni vere può essere riconosciuto non valido, anche se vero. Es.:

  • Gli dei sono immortali
  • Gli uomini non sono dei
  • Dunque gli uomini non sono immortali.

Tale sillogismo è non valido logicamente, anche se tutte le proposizioni sono vere, e questo è possibile capirlo non andando a permutare tutte le possibili frasi vere che mantengono la struttura del sillogismo, ma ragionando logicamente: <<Gli dei sono immortali>> [frase vera], ci dice che gli dei appartengono alla categoria degli immortali. Di tale categoria non sappiamo nulla, e nulla dice che questa sia composta solo da dei. <<Gli uomini non sono dei>> [vera], ma questo non esclude il fatto che essi possano essere immortali pur rimanendo non dei. Pertanto, la validità di un sillogismo è una caratteristica intrinseca della logica che in esso è contenuta. Non è necessario iterare finché non si evidenzia che da due proposizioni vere ne scaturisca una falsa per provarne la non-validità, ma basta studiarlo attentamente e evidenziarne l'illogicità, come fatto nell'esempio precedente. Le meccaniche logiche dei sillogismi sono riconducibili a quelle delle condizioni Necessarie e Sufficienti, capisaldi della logica moderna. Se una delle premesse è falsa, la conclusione è necessariamente falsa; viceversa, la verità di entrambe le premesse non implica che la conclusione sia vera.

Diverso è però il discorso per il sillogismo. Se però il sillogismo è valido, da due premesse vere deriva necessariamente una conclusione vera. Se entrambe le premesse sono false generalmente la conclusione è falsa, ma talvolta può essere vera accidentalmente (es: tutti gli uomini sono uccelli, tutti gli uccelli sono mammiferi, quindi tutti gli uomini sono mammiferi).

La teoria della Distribuzione dei termini permette di decidere se un sillogismo è valido.

Il sillogismo è stato distinto da Aristotele in tre figure:

Nella prima figura il termine medio funge da soggetto nella premessa maggiore e da predicato nella premessa minore:

  • Tutti i mammiferi sono animali
  • Il gatto è un mammifero
  • Il gatto è un animale

Nella seconda figura il termine medio funge da predicato sia nella premessa maggiore che in quella minore:

  • Nessun canarino è un felino
  • Tutti i gatti sono felini
  • Gatto Silvestro non è un canarino

Nella terza figura il termine medio funge da soggetto sia nella premessa maggiore che in quella minore:

  • Tutti i gatti sono mortali
  • Tutti i gatti sono animali
  • Alcuni animali sono mortali

Combinatoriamente, i modi dei sillogismi possibili sono 256: ci sono infatti tre proposizioni indipendenti ciascuna delle quali può assumere quattro forme diverse, per un totale di 4×4×4 combinazioni x4 figure. La figura è determinata dalla posizione del termine medio, che è il concetto che si trova in entrambe le premesse. I modi validi però sono soltanto 19, cioè i quattro modi (Barbara, Celarent, Darii, Ferio) perfetti (che Aristotele definì autoevidenti) del sillogismo di prima figura ed altri 15 di cui è possibile dimostrare la validità tramite le tre regole di conversione o la reductio ad impossibile.

Proposizioni dichiarative che contengono parole come "tutti", "nessuno" o "qualche" possono essere analizzate con la teoria degli insiemi. Se indichiamo l'insieme di A come s(A) (la lettera "s" sta per set), e l'insieme di B con s(B), si ha:

  • "Ogni A è B" (AaB) equivale a "s(A) è sottoinsieme di s(B)", vale a dire s(A) ⊆ s(B)
  • "Nessun A è B" (AeB) equivale a dire che l' "intersezione di S(A) e s(B) è vuota", oppure
  • "Qualche A è B" (AiB) equivale a dire che "l'inteersezione di s(A) e s(B) non è l'insieme vuoto", oppure
  • "Qualche A non è B" (AoB) equivale a dire che "s(A) non è incluso in s(B)"

Se "Ogni A è B" (AaB) è vero e se è vero anche "Ogni B è A" (BaA), si ha il caso particolare in cui gli insiemi s(A) e s(B) sono identici.
Essendo l'insieme vuoto per definizione un sottoinsieme di qualsiasi altro che si prenda in considerazione, se l'insieme A è privo di elementi (vuoto), allora le proposizioni "ogni A è B" e "nessun A è B" sono entrambe vere, mentre "qualche A è B" e "qualche A non è B" sono sempre false. Pertanto, il sillogismo della forma AaB non implica AiB, e molti dei sillogismi di seguito riportati non valgono se A è vuoto. L'insieme vuoto genera un caso di indecisione in cui due proposizioni opposte (universali) sono entrambe vere, contro quanto prevede il quadrato logico delle opposizioni che cessa di essere valido, e nel quale valeva e qui si deve escludere che "ogni A è B" implichi "qualche A è B"; in alternativa, come visto in precedenza, si può dire che gli universali non sono né veri né falsi, ma casi non giudicabili, lasciare salvo il quadrato logico, e continuare ad ammettere che "ogni A è B" implichi "qualche A è B".


Lo stesso Aristotele nel suo trattato identificò il tipo di discorso modale al quale non applicò le forme valide di sillogismo. Con questo tipo di enunciati fin dall'antichità era noto che fallisce il sillogismo, così come noi oggi diciamo anche per gli operatori booleani. La cosiddetta logica classica è basata su tre principi molto generali:

  • determinatezza e bivalenza, secondo i quali la logica si limita a enunciati dichiarativi (o veri o falsi)
  • vero-funzionalità: secondo cui gli enunciati composti sono <<funzioni di verità>> degli enunciati semplici che li compongono (afferma Wittgestein nel suo trattato), principio non valido per gli enunciati modali. Esempi:
  • Hegel era un filosofo e Schelling era amico di Hegel (1), composto da due enunciati semplici:
    • Hegel era un filosofo (1 a)
    • Schelling era amico di Hegel (1 b)
cui sostituisco a (1 a) un altro enunciato (2) vero:
  • Kant scrisse la "Critica della Ragion Pura" (2)
e ottengo:
  • Kant scrisse la "Critica della Ragion Pura" e Schelling era amico di Hegel, altrettanto vero.

Ma se dico:

  • Necessariamente 7 è un numero primo (3), composto da
    • <<7 è un numero primo>> (3 a), cui sostituisco (3 b):
  • Il Bologna ha vinto 7 scudetti. Ottengo:
  • Necessariamente il Bologna ha vinto 7 scudetti,

che è falso. Così come:

  • Necessariamente, 9 è maggiore di 7 (4), composto da
    • 9 è maggiore di 7 (4 a), sostituisco con
  • 9 è il numero dei pianeti (5), e ottengo:
  • Necessariamente, il numero dei pianeti è maggiore di 7,

che è falso.

L'esempio non segue la forma solita (due premesse con soggetto e predicato), ma ad essa si può facilmente applicare, e mostra che con espressioni dette modali (<<è possibile che..>>, <<è necessario che...>>) o epistemiche (<< so che...>. <<credo che...>>) la sostituzione di un enunciato vero con uno altrettanto vero in uno composto, non porta necessariamente a conseguenze vere.

1 Modus Barbara.svg
Barbara
Modus Barbari.svg
Barbari
Modus Darii.svg
Darii
Modus Ferio.svg
Ferio
Modus Celaront.svg
Celaront
Modus Celarent.svg
Celarent
2 Modus Festino.svg
Festino
Modus Cesaro.svg
Cesaro
Modus Cesare.svg
Cesare
Modus Camestres.svg
Camestres
Modus Camestros.svg
Camestros
Modus Baroco.svg
Baroco
3 Modus Darapti.svg
Darapti
Modus Datisi.svg
Datisi
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Disamis
Modus Felapton.svg
Felapton
Modus Ferison.svg
Ferison
Modus Bocardo.svg
Bocardo
4 Modus Bamalip.svg
Bamalip
Modus Dimatis.svg
Dimatis
Modus Fesapo.svg
Fesapo
Modus Fresison.svg
Fresison
Modus Calemes.svg
Calemes
Modus Calemos.svg
Calemos

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ John Corcoran, Aristotle's Prior Analytics and Boole's Laws of Thought, History and Philosophy of Logic, vol. 24 (2003), pp. 261–288
  2. ^ Allagranza, Sulla nozione di "Quantificazione ristretta" in logica e nella teoria grammaticale, Rivista di Grammatica Generativa, vol. 8 (1983), P. 3 di 64, Torino
  3. ^ Ibidem, pag.22

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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  • John Corcoran, Completeness of an Ancient Logic, Journal of Symbolic Logic, 37, 1972, pp. 696–702.
  • George Englebretsen, The New Syllogistic, Bern, Peter Lang, 1987.
  • Fred Johnson, Model for Modal Syllogisms, Notre Dame Journal of Formal Logic, 30, 1989, pp. 271–284.
  • Peter Johnson-Laird & Bruno Bara, Syllogistic Inference, Cognition, 16, 1984, pp. 1–61.
  • Marko Malink, Aristotle's Modal Syllogistic, Harvard, Harvard University Press, 2013.
  • Richard Patterson, Aristotle's Modal Logic, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
  • Lorenzo Pozzi, Da Ramus a Kant: il dibattito sulla sillogistica, Milano, Franco Angeli, 1981.
  • Arthur Norman Prior, Formal Logic, Oxford, Clarendon Press, 1962.
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  • Robin Smith, Immediate propositions and Aristotle's proof theory, Ancient Philosophy, 6, 1986, pp. 47–68.
  • Fred Sommers, The Logic of Natural Language, New York, Oxford University Press, 1982.
  • Fred Sommers & George Englebretsen, An Invitation to Formal Reasoning: The Logic of Terms, Aldershot, Ashgate, 2000.
  • Paul Thom, The Syllogism, München: Philosophia 1981.
  • Paul Thom, The Logic of Essentialism: An Interpretation of Aristotle's Modal Syllogistic, Dordrecht, Kluwer, 1996.

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