Logica modale

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Nell'ambito della logica formale, si indica come logica modale una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il "modo" in cui una proposizione è vera o falsa. Generalmente la logica modale si occupa dei concetti di possibilità e necessità, ma può essere utilizzata anche per esprimere l'obbligo morale o la credenza. Esempi di proposizioni modali sono quindi "È possibile che piova" o "È necessario che Socrate sia mortale o non mortale", ma anche "È doveroso andare a votare" o "Socrate crede che piova".

Gli operatori modali basilari sono \Box per esprimere la necessità e \Diamond la possibilità. Nella logica modale classica, ciascuno dei due operatori può essere espresso nei termini dell'altro e dell'operatore di negazione.

\Diamond p \leftrightarrow \lnot \Box \lnot p;
\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.

Quindi si dirà che "È possibile che Socrate sia stato ucciso" se e solo se "Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso".

Lo studio delle logiche modali trova applicazione in filosofia, nell'investigazione dei fondamenti della matematica, in informatica e nelle scienze cognitive.

Storia[modifica | modifica sorgente]

La logica modale nasce in epoca classica con l'analisi delle proposizioni contenenti le espressioni necessario e possibile fatta da Aristotele negli Analitici Primi e nel De Interpretatione. Dopo di lui in epoca classica si occuparono di questo tipo di enunciati i Megarici e gli Stoici.

Tali studi ebbero ampi sviluppi nel medioevo nell'ambito della filosofia Scolastica, in particolare ad opera di Guglielmo di Ockham. Risale a questa tradizione la qualificazione di modale per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.

La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C. I . Lewis nel libro Symbolic Logic scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'implicazione logica o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di implicazione stretta, dove "p implica strettamente q" significa "non è possibile che p sia vero e q sia falso" (in simboli \lnot \Diamond (p \land \lnot q), equivalente a \Box(p \rightarrow q)). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati.

Nel 1959 Saul Kripke definì una semantica per le logiche modali basata sul concetto di mondi possibili e sulla relazione di accessibilità tra mondi. In base a tale semantica, la proposizione "È necessario p" è vera in un mondo w se è vera in tutti i mondi v accessibili da w. L'introduzione di tale semantica ha dato inizio agli studi attuali sulle logiche modali.

Modalità aletiche[modifica | modifica sorgente]

Le modalità aletiche sono quelle relative al modo di essere vero di un enunciato, ovvero se esso è possibilmente vero, necessariamente vero o contingentemente vero. Si tratta delle modalità comunemente intese quando non diversamente specificato.

Le modalità aletiche possono essere intese in diversi sensi.

Possibilità logica[modifica | modifica sorgente]

È il senso più debole, in quanto pressoché qualsiasi cosa intelligibile è logicamente possibile: gli asini possono volare, Socrate può essere immortale e la teoria atomica della materia può essere falsa.

Alla stessa maniera, pressoché nulla è logicamente impossibile: una cosa logicamente impossibile è chiamata contraddizione. È possibile che Socrate sia immortale, ma non è possibile che Socrate sia mortale e immortale. Molti logici ritengono che le verità matematiche siano logicamente necessarie (ad esempio è logicamente impossibile che 2+2 ≠ 4).

Possibilità fisica[modifica | modifica sorgente]

Qualcosa è fisicamente possibile se è permesso dalle leggi della natura. Ad esempio, è possibile che ci sia un atomo con numero atomico 150, anche se nella realtà tale atomo non esiste. Per contro non è in questo senso possibile che ci sia un atomo il cui nucleo contenga formaggio. Mentre è logicamente possibile accelerare qualcosa oltre la velocità della luce, secondo la scienza moderna ciò non è fisicamente possibile per un oggetto dotato di massa.

Possibilità metafisica[modifica | modifica sorgente]

I filosofi possono prendere in considerazione le proprietà che gli oggetti hanno indipendentemente dalle leggi della natura. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario che qualsiasi ente pensante abbia un corpo e possa avere esperienza del passaggio del tempo, o che Dio esista (o non esista).

La possibilità metafisica è generalmente ritenuta più forte di quella logica, nel senso che ci sono meno cose metafisicamente possibili di quante ce ne siano logicamente. È invece materia di dibattito filosofico il rapporto con la possibilità fisica, e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

Modalità epistemiche[modifica | modifica sorgente]

Il contesto epistemico è caratterizzato dagli operatori di conoscenza (K) e di credenza (C), che nel linguaggio ordinario corrispondono rispettivamente alle espressioni "conosco p" e "credo che p, sono certo che p". I due operatori sono condizionati da alcuni principi.

Principi su C

  • C1 Cp ⇏ p (essere certi di p non implica la verità di p)
  • C2 Cp → ¬C¬p (principio di non contraddizione epistemico)
  • C3 Cp → CCp (principio di introspezione)
  • C4 ¬Cp → C¬Cp (tale principio prova che è impossibile dubitare di tutto, cioè che è impossibile non essere certi di dubitare)

Principi su K

  • K1 Kp → p (il conoscere implica la verità di p)
  • K2 Kp → Cp (il conoscere si accompagna alla credenza, "tendo a credere a ciò che conosco")
  • K3 Kp → ¬K¬p (principio di non contraddizione epistemico)
  • K4 Kp → KKp (principio di introspezione)

È aperta la discussione su un quinto principio su K, vale a dire K5 ¬Kp → K¬Kp

Tale principio è la formalizzazione logica del detto socratico "Non conosco p dunque so di non sapere p". Svolgiamo qui di seguito la dimostrazione secondo cui tale principio si pone come problema filosofico.

  • i) ¬Kp → K¬Kp (K5)
  • ii) K¬Kp → C¬Kp (K2)
  • iii) ¬C¬Kp → ¬K¬Kp (regola di contrapposizione applicata a K2)
  • iiib) ¬K¬Kp → Kp (regola di contrapposizione applicata a K5)
  • iv) ¬C¬Kp → Kp (regola di concatenazione su iii e iiib)
  • v) CKp → ¬C¬Kp (principio di non contraddizione epistemico)
  • vi) CKp → Kp (concatenazione su iv e v)

La conseguenza è presto detta: si conclude il ragionamento affermando che credere a p (che equivale ad affermare di credere di conoscere p per il principio di introspezione e per la regola di concatenazione) implica il conoscere p. Tale conclusione è evidentemente falsa e pone l'accento sulla necessità di distinguere rigorosamente la conoscenza dalla credenza.

Modalità temporali[modifica | modifica sorgente]

Le modalità temporali sono utilizzate per esprimere il valore di verità di una proposizione rispetto al tempo. Si hanno due coppie di operatori duali, una riferita al passato e una al futuro. Per il passato l'operatore \Box è letto come "È sempre stato vero che...", mentre l'operatore \Diamond come "C'è stato un istante in cui è stato vero che ...". Per il futuro si avrà invece, rispettivamente, "Sarà sempre vero che ..." e "Ci sarà un istante in cui sarà vero che ...".

Modalità deontiche[modifica | modifica sorgente]

Le modalità deontiche sono relative agli enunciati concernenti il concetto di dovere. "È obbligatorio ..." è l'interpretazione deontica dell'operatore \Box, "È permesso ..." dell'operatore \Diamond.

Assiomatizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Come si è accennato nell'introduzione storica con riferimento ai sistemi S1 - S5 di Lewis, diversi insiemi di assiomi danno origine a diverse logiche modali. Sul piano semantico sono le proprietà della relazione di accessibilità tra i mondi a originare le diverse logiche.

La più debole logica modale comunemente studiata è chiamata K in onore di Kripke e contiene:

  • tutti gli assiomi della logica proposizionale
  • N, la regola di necessitazione: se p è un teorema allora \Box p è un teorema
  • K, l'assioma di distribuzione:  \Box (p \Rightarrow q)  \Rightarrow (\Box p \Rightarrow \Box q).

Aggiungendo a K l'assioma T si ottiene la logica chiamata a sua volta T:

  • T: \Box p \Rightarrow p

T è detto assioma di riflessività in quanto corrisponde alla proprietà riflessiva della relazione di accessibilità tra mondi. Esso afferma che se p è necessaria allora deve anche essere vera. Quindi se p è vera in tutti i mondi v accessibili da w allora è vera anche in w. Se la relazione non avesse la proprietà riflessiva potrebbero essere vere sia \Box p (p è vera in tutti i mondi accessibili) che \lnot p (in quanto il mondo in cui valuto non è tra quelli accessibili), ma \Box p \Rightarrow p e \Box p implicano p (per il modus ponens), e si avrebbe la contraddizione p \land \lnot p.

Altri assiomi comunemente utilizzati sono i seguenti (tra parentesi le proprietà della relazione di accessibilità corrispondenti):

Tali assiomi definiscono i seguenti sistemi:

  • S4 := T + 4
  • B:=T + AB
  • S5 := S4 + AB or T + 5 or B + 4
  • D := K + D.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • G.E. Huges, M.J. Cresswell, Introduzione alla logica modale, Il Saggiatore, 1983
  • G.E. Huges, M.J. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, Routlege, 1996. ISBN 0-415-12599-5
  • P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-52714-9
  • P. Blackburn, J. van Benthem, F. Wolker. Handbook of Modal Logic, 2006, North Holland

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