Rappresentazione irriducibile
In matematica, in particolare nella teoria delle rappresentazioni dei gruppi e delle algebre, una rappresentazione irriducibile o irrep di una struttura algebrica è una rappresentazione non nulla che non ha sottorappresentazioni proprie non banali , insieme a chiuso sotto l'azione di .
Ogni rappresentazione unitaria di dimensione finita su uno spazio di Hilbert è la somma diretta delle rappresentazioni irriducibili. Le rappresentazioni irriducibili sono sempre non decomponibili (cioè non possono essere ulteriormente scomposte in una somma diretta di rappresentazioni), ma il viceversa potrebbe non valere, ad esempio la rappresentazione 2-dimensionale dei numeri reali agenti come matrici triangolari superiori unipotenti è non decomponibile ma riducibile.
Storia
[modifica | modifica wikitesto]La teoria delle rappresentazioni dei gruppi è stata generalizzata da Richard Brauer dagli anni '40 per fornire una teoria delle rappresentazioni modulari, in cui gli operatori matriciali agiscono su uno spazio vettoriale su un campo di caratteristica arbitraria, piuttosto che uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali o sul campo dei numeri complessi.
Panoramica
[modifica | modifica wikitesto]Sia una rappresentazione cioè un omomorfismo di un gruppo dove è uno spazio vettoriale su un campo . Se scegliamo una base per , può essere pensata come una funzione (un omomorfismo) da un gruppo in un insieme di matrici invertibili e in questo contesto è chiamata rappresentazione matriciale. Tuttavia, semplifica notevolmente le cose pensare allo spazio senza base.
Un sottospazio lineare è chiamato -invariante se per ogni e ogni . La co-restrizione di al gruppo lineare generale di un sottospazio -invariante è nota come sottorappresentazione. Una rappresentazione si dice irriducibile se ha solo sottorappresentazioni banali (tutte le rappresentazioni possono formare una sottorappresentazione con i sottospazi -invarianti, ad esempio l'intero spazio vettoriale e l'insieme vuoto). Se esiste un sottospazio invariante non banale proprio, si dice riducibile.
Notazione e terminologia delle rappresentazioni dei gruppi
[modifica | modifica wikitesto]Gli elementi di gruppo possono essere rappresentati da matrici, sebbene il termine "rappresentato" abbia un significato specifico e preciso in questo contesto. Una rappresentazione di un gruppo è una mappa dagli elementi del gruppo al gruppo lineare generale di matrici. Come notazione, siano a, b, c, ... elementi di un gruppo G con prodotto di gruppo significato senza alcun simbolo, quindi ab è il prodotto di gruppo di a e b ed è anche un elemento di G, e si indicano le rappresentazioni con D. La rappresentazione di a è scritta
Per definizione di rappresentazioni di gruppo, la rappresentazione di un prodotto di gruppi si traduce in moltiplicazione matriciale delle rappresentazioni:
Se e è l'elemento identità del gruppo (così che ae = ea = a, ecc.), allora D ( e ) è una matrice identità, o identicamente una matrice a blocchi di matrici identità, poiché dobbiamo avere
e analogamente per tutti gli altri elementi del gruppo. Le ultime due affermazioni corrispondono al requisito che D è un omomorfismo di gruppo.
Rappresentazioni riducibili e irriducibili
[modifica | modifica wikitesto]Una rappresentazione è riducibile se contiene un sottospazio G-invariante non banale, cioè se tutte le matrici possono essere messe nella forma di una matrice triangolare superiore a blocchi dalla stessa matrice invertibile . In altre parole, se c'è una trasformazione di similitudine:
che mappa ogni matrice nella rappresentazione negli stessi blocchi triangolari superiori del modello. Ogni blocco minore di sequenza ordinata è una sottorappresentazione di gruppo. Vale a dire, se la rappresentazione è di dimensione k, allora si ha:
dove è una sottorappresentazione non banale. Se riusciamo a trovare una matrice quello fa anche, allora non è solo riducibile ma anche scomponibile.
Avviso: anche se una rappresentazione è riducibile, la sua rappresentazione matriciale potrebbe non essere ancora la forma del blocco triangolare superiore. Avrà questa forma solo se scegliamo una base opportuna, che si ottiene applicando la matrice sopra alla base standard.
Rappresentazioni decomponibili e non decomponibili
[modifica | modifica wikitesto]Una rappresentazione è decomponibile (scomponibile) se tutte le matrici possono essere messe in forma diagonale a blocchi dalla stessa matrice invertibile . In altre parole, se c'è una trasformazione di similitudine:[1]
che diagonalizza ogni matrice nella rappresentazione nello stesso modello di blocchi diagonali. Ciascuno di questi blocchi è quindi una sottorappresentazione di gruppo indipendente dagli altri. Le rappresentazioni D ( a ) e D′ ( a ) si dicono rappresentazioni equivalenti.[2] La rappresentazione può essere scomposta in una somma diretta di k > 1 matrici:
quindi D ( a ) è scomponibile, ed è consuetudine etichettare le matrici scomposte con un apice tra parentesi, come in D ( n ) ( a ) per n = 1, 2, ..., k, anche se alcuni autori scrivono semplicemente l'etichetta numerica senza parentesi.
La dimensione di D ( a ) è la somma delle dimensioni dei blocchi:
Se questo non è possibile, cioè k = 1, allora la rappresentazione è non decomponibile.[1][3]
Avviso: anche se una rappresentazione è scomponibile, la sua rappresentazione matriciale potrebbe non essere diagonale a blocchi. Avrà questa forma solo in una base opportuna, che si ottiene applicando la matrice sopra alla base standard.
Connessione tra rappresentazione irriducibile e rappresentazione scomponibile
[modifica | modifica wikitesto]Una rappresentazione irriducibile è per natura non decomponibile. Tuttavia, non è detto il contrario. Comunque, in alcune condizioni, una rappresentazione indecomponibile è anche irriducibile. In particolare quando:
- il gruppo è finito e ha una rappresentazione sul campo [4]
- il gruppo è finito e ha una rappresentazione sul campo , se abbiamo .
Esempi di rappresentazioni irriducibili
[modifica | modifica wikitesto]Rappresentazione banale
[modifica | modifica wikitesto]Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale unidimensionale, irriducibile.
Rappresentazione unidimensionale
[modifica | modifica wikitesto]Qualsiasi rappresentazione unidimensionale è irriducibile in virtù del fatto che non ha sottospazi non banali propri.
Rappresentazioni complesse irriducibili
[modifica | modifica wikitesto]Le rappresentazioni complesse irriducibili di un gruppo finito possono essere caratterizzate utilizzando i risultati della teoria dei caratteri. In particolare, tutte queste rappresentazioni si decompongono come somma diretta di irrep e il numero di irrep di è uguale al numero di classi di coniugazione di .[5]
- Le rappresentazioni complesse irriducibili di sono esattamente dati dalle mappe , dove è un -esima radice dell'unità.
- Sia una rappresentazione complessa -dimensionale di con base . Quindi si decompone come somma diretta dell'irreps
- Sia un gruppo. La rappresentazione regolare di è lo spazio vettoriale complesso libero sulla base con l'azione di gruppo , denotato Tutte le rappresentazioni irriducibili di appaiono nella decomposizione di come somma diretta di irrep.
Applicazioni in fisica teorica e chimica
[modifica | modifica wikitesto]In meccanica quantistica e in chimica quantistica, ogni insieme di autostati degeneri dell'operatore hamiltoniano comprende uno spazio vettoriale per una rappresentazione del gruppo di simmetria dell'hamiltoniano, un "multiplo", meglio studiato mediante riduzione alle sue parti irriducibili. Identificare le rappresentazioni irriducibili permette quindi di etichettare gli stati, prevedere come si separeranno (o transiranno ad altri stati) sotto perturbazioni. Pertanto, in meccanica quantistica, le rappresentazioni irriducibili del gruppo di simmetria del sistema etichettano parzialmente o completamente i livelli energetici del sistema, consentendo di determinare le regole di selezione.[6]
Gruppi di Lie
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Gruppo di Lorentz
[modifica | modifica wikitesto]Le irrep di D(K) e D(J), dove J è il generatore di rotazioni e K il generatore di boost, possono essere usate per costruire rappresentazioni di spin del gruppo di Lorentz, perché sono legate alle matrici di spin della meccanica quantistica. Ciò consente di ricavare equazioni d'onda relativistiche.[7]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ a b E. P. Wigner, Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra, collana Pure and applied physics, Academic press, 1959, p. 73.
- ^ W. K. Tung, Group Theory in Physics, World Scientific, 1985, p. 32, ISBN 978-997-1966-560.
- ^ W. K. Tung, Group Theory in Physics, World Scientific, 1985, p. 33, ISBN 978-997-1966-560.
- ^ Michael Artin, Algebra, 2ndª ed., Pearson, 2011, pp. 295, ISBN 978-0132413770.
- ^ Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90190-9.
- ^ answers.com, 6th, http://www.answers.com/topic/irreducible-representation .
- ^ Geometry of spacetime propagation of spinning particles, in Annals of Physics, vol. 216, n. 2, 1992, pp. 226–267, DOI:10.1016/0003-4916(92)90176-M.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- H. Weyl, The theory of groups and quantum mechanics, Courier Dover Publications, 1950, p. 203, ISBN 978-0-486-60269-1.«magnetic moments in relativistic quantum mechanics.»
- P. R. Bunker e Per Jensen, Fundamentals of molecular symmetry, CRC Press, 2004, ISBN 0-7503-0941-5.
- A. D. Boardman, D. E. O'Conner e P. A. Young, Symmetry and its applications in science, McGraw Hill, 1973, ISBN 978-0-07-084011-9.
- V. Heine, Group theory in quantum mechanics: an introduction to its present usage, Dover, 2007, ISBN 978-0-07-084011-9.
- V. Heine, Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage, Courier Dover Publications, 1993, ISBN 978-048-6675-855.
- E. Abers, Quantum Mechanics, Addison Wesley, 2004, p. 425, ISBN 978-0-13-146100-0.
- B. R. Martin, G.Shaw, Particle Physics, 3rdª ed., Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 3 dicembre 2008, p. 3, ISBN 978-0-470-03294-7.
- vol. 1, 1995, ISBN 978-0-521-55001-7, https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev/page/230.
- vol. 2, 1996, ISBN 978-0-521-55002-4, https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev.
- vol. 3, 2000, ISBN 978-0-521-66000-6, https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev.
- R. Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 978-0-679-77631-4.
- P. W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics (Parts 1 and 2): An introduction to quantum chemistry, vol. 1, Oxford University Press, 1970, pp. 125–126, ISBN 978-0-19-855129-4.
- math.mit.edu, 1999, http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf .
Articoli
- Bargmann, V., Group theoretical discussion of relativistic wave equations, vol. 34, 1948, DOI:10.1073/pnas.34.5.211, PMID 16578292.
- E. Wigner, On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group, vol. 40, n. 1, 1937, DOI:10.2307/1968551.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- crystallography.fr, 2010, http://www.crystallography.fr/mathcryst/pdf/nancy2010/Aroyo_reps2010.pdf .
- cft.fis.uc.pt, 2012, http://cft.fis.uc.pt/eef/evbgroups.pdf . URL consultato il 7 luglio 2013.
- math.berkeley.edu, 2005, http://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf .
- panda.unm.edu, http://panda.unm.edu/Courses/Finley/p467/handouts/YoungTableauxSubs.pdf .[collegamento interrotto]
- huntresearchgroup.org.uk, 2008, http://www.huntresearchgroup.org.uk/teaching/teaching_MOs_year2/L2_Addn_Symm_Labels.pdf .
- Copia archiviata (PDF), su physics.indiana.edu, 2008. URL consultato il 7 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 23 novembre 2018).
- einrichtungen.ph.tum.de, 2007, http://einrichtungen.ph.tum.de/T30f/lec/QFT/groups.pdf .
- math.columbia.edu, 2015, http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf ., see chapter 40
- pages.cs.wisc.edu, 2009, http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf .
- panda.unm.edu, http://panda.unm.edu/Courses/Finley/P495/handouts/PoincareLieAlgebra.pdf .
- answers.com, http://www.answers.com/topic/irreducible-representation-of-a-group .