Polinomio di Čebyšëv

In matematica, i polinomi di Čebyšëv, normalmente in italiano detti polinomi di Chebyshev secondo la traslitterazione anglosassone sono le componenti di una successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x$

Traggono il loro nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv, che li studiò come soluzioni polinomiali della seguente equazione differenziale, anch'essa detta di Čebyšëv:

$(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0.$

I polinomi che esaminiamo sono detti anche polinomi di Čebyšëv di prima specie, per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti polinomi di Čebyšëv di seconda specie.

Evidentemente i polinomi di Čebyšëv hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono funzioni pari della variabile $x$, quelli di grado dispari sono funzioni dispari; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia $x$ con $-x$.

Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:

$T_{n}(\cos(\theta )):=\cos(n\theta )\quad {\mbox{per}}\quad n=0,1,2,3,\ldots$

o in forma esplicita

$T_{n}(x):=\sum _{h=0}^{[n/2]}(-1)^{h}{n \choose 2h}x^{n-2h}(1-x^{2})^{h}$

dove con $[n/2]$ si intende la parte intera di $n/2$.

Che $\cos(nx)$ sia un polinomio di grado $n$ in $\cos(x)$ può essere visto osservando che $\cos(nx)$ è la parte reale di un membro della formula di De Moivre, e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in $\cos(x)$ e $\sin(x)$, dove tutte le potenze del $\sin(x)$ sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$.

Il polinomio $T_{n}$ ha esattamente $n$ radici semplici facenti parte dell'intervallo $[-1,1]$ chiamate nodi di Čebyšëv.

Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la relazione di ricorrenza:

$T_{0}(x):=1$

$T_{1}(x):=x$

$T_{n+1}(x):=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).$

Essi costituiscono una successione di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, sull'intervallo $[-1,1]$, cioè, abbiamo

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\quad {\text{se }}n\neq m.$

Questo succede perché (ponendo $x=\cos \theta$)

$\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,d\theta =0\quad {\text{se }}n\neq m.$

Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti a partire da funzioni generatrici. Un esempio di una tale funzione generatrice è

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

I polinomi di Čebyšëv sono ampiamente utilizzati nell'area della approssimazione numerica.

Bibliografia

• (EN) Theodore J. Rivlin (1990): Chebyshev Polynomials. From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed., J.Wiley, ISBN 0-471-62896-4

Voci correlate

• Glossario di trigonometria
• Nodi di Čebyšëv
• Polinomi di Legendre
• Polinomi di Hermite

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Collegamenti esterni

• (EN) Thermopedia, "Chebyshev polynomials"