Serie di Neumann

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In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

 \sum_{n=0}^\infty T^n

dove T è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Sia T un operatore limitato su uno spazio normato X. Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora Id - T è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

 (\mathrm{Id} - T)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty T^n

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando X è uno spazio di Banach e |T|<1 nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach B e B' è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia S:B \to B' un operatore invertibile e sia T:B \to B' un altro operatore. Se |S-T|<|S^{-1}|^{-1}, allora anche T è invertibile. Questo segue da scrivere T come:

 T = S ( \mathrm{Id} - (\mathrm{Id} - S^{-1} T ))

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di T^{-1} può essere limitata da:

 |T^{-1}| \le \tfrac{1}{1-q} |S^{-1}| \quad\text{dove}\quad q = |S-T| \, |S^{-1}|

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-43586-7.
  • (EN) Smithies, Integral equations , Cambridge Univ. Press (1970) pp. Chapt. II
  • (EN) N. Suzuki, On the convergence of Neumann series in Banach space Math. Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
  • (EN) H.W. Engl, A successive-approximation method for solving equations of the second kind with arbitrary spectral radius J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
  • (EN) I.C. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory , Birkhäuser (1981)
  • (EN) A.E. Taylor, D.C. Lay, Introduction to functional analysis , Wiley (1980) pp. Chapt. 5

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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