Primi supersingolari

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Nella teoria dei numeri algebrica, un primo supersingolare per una curva ellittica definita sui numeri razionali se la riduzione di E modulo p è una curva ellittica supersingolare sul campo residuo \mathbb{F}_p.

Più in generale, se K è un qualsiasi campo globale, cioè un'estensione finita di \mathbb{Q} o di  \mathbb{F}_p(t), e se A è una varietà abeliana definita su K, allora un primo supersingolare \mathfrak{p} per A è un posto finito di K tale che la riduzione di A modulo \mathfrak{p} è una varietà abeliana supersingolare.

Alternativamente, il termine primo supersingolare è usato per un divisore primo dell'ordine del gruppo mostro M, il più grande dei gruppi eccezionali semplici. In questo caso ci sono precisamente 15 primi supersingolari: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, e 71.

Sebbene questi due definizioni sono sicuramente distinte (la prima è relativa a una particolare curva ellittica, mentre la seconda no), esse sono relazionate. Infatti, per un numero primo p, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) La curva modulare  X_0^+(p) ha genere zero.

(Stia H a denotare il semipiano superiore. Per un numero naturale n, sia Γ0(n) il gruppo modulare Γ0, e sia wn l'involuzione di Fricke definita dalla matrice a blocchi [[0, −1], [n, 0]]. Inoltre, sia la curva modulare X0/(n) la compattificazione (con cuspidi aggiunte) di

 Y_0(n) = \Gamma_0(n)\setminus H,

e per ogni primo p, definiamo

 X_0^+(p) = X_0(p)/w_p. )

(ii) Ogni curva ellittica supersingolare di caratteristica p può essere definita sopra il sottocampo del primo \mathbb{F}_p.

(iii) L'ordine del gruppo mostro è divisibile per p.

L'equivalenza è dovuta a Andrew Ogg. Più precisamente, nel 1975 Ogg mostrò che i numeri primi che soddisfano (i) sono esattamente i 15 primi elencati sopra e in breve intuì dell'esistenza di un gruppo eccezionale semplice avente esattamente questi numeri primi come divisori. Questa strana coincidenza diede avvio alla teoria del Monstrous Moonshine.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Fonti[modifica | modifica sorgente]

(EN) Eric W. Weisstein, Primi supersingolari in MathWorld, Wolfram Research.

Ogg, A. P. "Modular Functions." In The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25-July 20, 1979 (Ed. B. Cooperstein and G. Mason). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 521-532, 1980.

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