Primi supersingolari

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In matematica, in particolare in teoria algebrica dei numeri, un numero primo p è detto supersingolare per una curva ellittica E definita sui numeri razionali se la riduzione di E modulo p è una curva ellittica supersingolare sul campo finito \mathbb{F}_p.

Più in generale, se K è un qualsiasi campo globale, cioè un'estensione finita di \mathbb{Q} o di \mathbb{F}_p(t), e se A è una varietà abeliana definita su K, allora un primo supersingolare \mathfrak{p} per A è un posto finito di K tale che la riduzione di A modulo \mathfrak{p} è una varietà abeliana supersingolare.

Alternativamente, il termine primo supersingolare è usato per un divisore primo dell'ordine del gruppo mostro M, il più grande dei gruppi eccezionali semplici. In questo caso ci sono precisamente 15 primi supersingolari: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, e 71.

Sebbene questi due definizioni sono sicuramente distinte (la prima è relativa a una particolare curva ellittica, mentre la seconda no), esse sono relazionate. Infatti, per un numero primo p, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) La curva modulare X_0^+(p) ha genere zero.

(ii) Ogni curva ellittica supersingolare di caratteristica p può essere definita sopra il sottocampo del primo \mathbb{F}_p.

(iii) L'ordine del gruppo mostro è divisibile per p.

L'equivalenza è dovuta a Andrew Ogg. Più precisamente, nel 1975 Ogg mostrò che i numeri primi che soddisfano (i) sono esattamente i 15 primi elencati sopra e in breve intuì dell'esistenza di un gruppo eccezionale semplice avente esattamente questi numeri primi come divisori. Questa strana coincidenza diede avvio alla teoria del Monstrous Moonshine.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Fonti[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Eric W. Weisstein, Primi supersingolari in MathWorld, Wolfram Research.
  • Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 1986.
  • Ogg, A. P. "Modular Functions." In The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25-July 20, 1979 (Ed. B. Cooperstein and G. Mason). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 521-532, 1980.
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