Precessione del perielio dell'orbita di Mercurio

Precessione del perielio (fortemente esagerata).

Per precessione del perielio dell'orbita di Mercurio si intende la precessione (avanzamento) del perielio (il punto più vicino al Sole) dell'orbita del pianeta Mercurio.

Tra tutti i pianeti del sistema solare, Mercurio è quello che presenta la precessione del perielio più accentuata, essendo il più vicino al Sole.

Storia

Il fenomeno è previsto dalla teoria della gravitazione universale di Isaac Newton, ma Urbain Le Verrier, per primo, scoprì che questo pianeta avanza più velocemente di quello che prevede la teoria stessa: dalle osservazioni infatti è risultato che la longitudine del perielio, cioè la somma della longitudine del nodo ascendente e l'argomento del perielio, aumenta di 5600" (secondi d'arco) ogni secolo. Il dato previsto teoricamente tenendo conto dell'interazione con gli altri pianeti è invece di 5557"/secolo, con uno scarto di 43" circa.

Diverse soluzioni furono proposte per risolvere questo problema:

• Le Verrier propose l'esistenza di un ipotetico pianeta Vulcano, la cui orbita sarebbe interna a quella di Mercurio. Le Verrier aveva applicato pochi anni prima lo stesso metodo ai pianeti esterni, "scoprendo" in modo sensazionale il pianeta Nettuno senza aver bisogno di vederlo.
• Un ipotetico satellite di Mercurio
• Massa del 10% maggiore per Venere
• Non sfericità del Sole (J2 gravitazionale)
• Modifiche della gravitazione universale: $F = G \frac{m m'}{d^{2 + \epsilon}}$

Nel 1919 Albert Einstein annunciò che la sua teoria della relatività generale prevedeva una precessione del perielio dei pianeti anche in assenza di interazione tra di essi (mentre la meccanica classica prevede in tal caso che l'orbita sia un'ellisse fissa e immutabile), e che l'entità di questa precessione per Mercurio corrispondeva allo scarto osservato.

Soluzione di Einstein

Il valore dell'avanzamento previsto da Einstein è:

$\Delta\pi R={\frac{3n^3a^2}{c^2(1-e)^2}t}$

in cui: ΔπR = valore dell'avanzamento del perielio dato dalla relatività generale, da sommare a quello previsto dalle perturbazioni newtoniane

n = moto medio del pianeta

a = semiasse della sua orbita

e = eccentricità orbitale

t = tempo

c = velocità della luce nel vuoto.

Dunque il termine correttivo viene introdotto per un corpo celeste in movimento; la correzione riguarda il cubo del rapporto fra velocità del corpo e la velocità della luce, quindi i valori saranno apprezzabili solo quando la velocità del corpo sarà elevata; ora fra tutti i pianeti Mercurio è quello che ha la velocità maggiore e quindi risulta quello dove è stata riscontrata l'anomalia.

La precessione del perielio di Mercurio viene perciò considerata la prima conferma sperimentale della teoria della relatività generale, anche se le spiegazioni alternative furono escluse completamente molti anni dopo.

Metodo di calcolo

Definendo k, costante gaussiana di gravitazione, dalla equazione

$k^2 = \bar{n}^3 \bar{a}^2$

dove $\bar{n}$ è il Moto medio in radianti su giorno solare medio di un corpo con massa trascurabile rispetto a quella del Sole e $\bar{a}$ è semiasse maggiore in Unità astronomica.

Dal 1938 si considera $k=0.01720209895$ e si definisce $A$ raggio dell'orbita perfettamente circolare di un corpo intorno al Sole di massa trascurabile con tempo di rivoluzione $\frac{2\pi}{k} = 365.2568983$. Possiamo quindi esprimere $GM_{Sole}$ come:

$GM_{Sole} = k^{2}\frac{A^{3}}{D^{2}}$, dove $D$ è il giorno solare medio, pari a circa 86400 secondi.

Tradizionalmente si riportano i semiassi maggiori delle orbite dei pianeti in relazione ad $A$, e nel caso di Mercurio abbiamo $\bar{a}=\frac{a}{A}=0.387099$, $e=0.205630$ e $P=0.24085$ anni (misure considerate costanti a meno di una parte su $10^{5}$ negli ultimi anni)

Scriviamo la formula dell'avanzamento del perielio di Mercurio corretta dalla Relatività Generale utilizzando i precedenti simboli:

$\dot{\omega} = \frac{6\pi k^{2}}{PD^{2}\bar{a}(1-e^{2})} \frac{A^{2}}{c^{2}}$

La International Astronomical Union fornisce:

$A_{1976}=1.4959787 10^{11} m$

$c_{1976}=299792458 m s^{-1}$

e dunque $\dot{\omega} = 42.98$ arc s su 100 anni.

Dal 1919 ad oggi

Dal 1919 ad oggi si registra molta confusione sul valore della precessione del perielio dell'orbita di Mercurio, poiché durante tutto il '900 sia $A$ che la velocità della luce $c$ sono state misurate con sempre maggiore precisione, influenzando il valore della precessione, e conseguentemente articoli e libri di testo. Per avere la completa corrispondenza fra previsione e misura sperimentale bisogna arrivare alla fine degli anni '70, quando è stato anche escluso un significativo contributo alla precessione da parte della asfericità del Sole.

Collegamenti esterni

• Precessão do periélio de Mercúrio - plato.if.usp.br (PT)

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