Insieme delle soluzioni

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In matematica, un insieme delle soluzioni è l'insieme dei valori che soddisfano una o più equazioni e/o disequazioni.

Per esempio, in un insieme \{f_i\} di polinomi appartenente al insieme dei numeri reali R, l'insieme delle soluzioni è il sottoinsieme di \R contenente i numeri che sono zeri di tutti i polinomi, formalmente:

\{x\in R:\forall i\in I, f_i(x)=0\}.\

I simboli comunemente usati per indicare l'insieme delle soluzioni sono S o anche \mathbb S. Non si dimentichi che l'insieme delle soluzioni è un sotto insieme e come tale dipende dall'insieme a cui appartiene (insieme dei numeri reali R, complessi C, ecc.). Ad esempio, l'equazione x^{2}=-1 ha insiemi delle soluzioni vuoto (S=\varnothing=\{\}) per x \in \R, mentre per x \in \C le soluzioni dono due, S=\{ \pm i\}.

Insieme delle soluzioni può essere[modifica | modifica sorgente]

  • Può avere una sola soluzione (l'equazione è risolvibile in modo univoco).
  • Può avere diverse o infinite soluzioni (l'equazione è comunque risolvibile).
  • Può non avere soluzioni (l'equazione è irrisolvibile e l'insieme è vuoto).

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Equazioni e soluzioni per  x,y \in \mathbb R  :

  • x = 1 \qquad\;\, S = \left\{1\right\}
  • x + 2 = 5 \;\;\, S = \left\{3\right\}
  • \frac{1}{x^2} = 9 \qquad S = \{-\tfrac{1}{3}; \tfrac{1}{3}\}
  • xy = 1 \qquad S = \left\{ \left(x;\frac{1}{x}\right) | x \neq 0 \right\}, l'insieme delle soluzioni è una coppia.

un Sistema di equazioni lineari:

  • 
\left\{
\begin{matrix} 
x & + & 2y & = & 8\\
2x & + & y & = & 7
\end{matrix} \right.
\qquad S = \{ (2,3) \}


Curiosità[modifica | modifica sorgente]

In geometria algebrica, gli insiemi delle soluzioni sono usati per definire la topologia di Zariski (vedi varietà algebrica).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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