Gruppo di Galois assoluto

Il gruppo di Galois assoluto di un campo $K$ è per definizione il gruppo di Galois di $K_{s}$ su $K$, dove $K_{s}$ denota la chiusura separabile di $K$. In alternativa può essere definito come il gruppo di tutti gli automorfismi di $K_{s}$ che fissano $K$. Si noti che se $K$ è un campo perfetto (come nel caso in cui $K$ ha caratteristica zero o è un campo finito), allora $K_{s}$ coincide con la chiusura algebrica ${\bar {K}}$ di $K$.

Esempi

• Il gruppo di Galois assoluto di un campo algebricamente chiuso è banale.
• Il gruppo di Galois assoluto del campo dei numeri reali è un gruppo ciclico di due elementi (il coniugio complesso e l'identità), poiché $\mathbb {C}$ è la chiusura separabile di $\mathbb {R}$ e $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2.$
• Il gruppo di Galois assoluto di un campo finito $K$ è isomorfo al gruppo

${\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .$

(Per la notazione vedere limite inverso.)

L'automorfismo di Frobenius $\mathrm {Fr}$ è un generatore (topologico) canonico di $G_{K}$ (si ricordi che $\mathrm {Fr} (x)=x^{q}$ per ogni $x\in K^{alg}$, dove $q$ è il numero di elementi di $K$).

• Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un gruppo profinito). Questo risultato è dovuto a Adrien Douady e ha le sue origini nel teorema di esistenza di Riemann.
• Più in generale, sia $C$ un campo algebricamente chiuso e $x$ una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di $K=C(x)$ è libero di rango uguale alla cardinalità di $C.$ Questo risultato è dovuto a David Harbater e Florian Pop, e fu dimostrato nuovamente in seguito da Dan Haran e Moshe Jarden usando metodi algebrici.
• Sia $K$ un'estensione finita del campo dei numeri p-adici $\mathbb {Q} _{p}.$ Per $p\neq 2,$ il suo gruppo di Galois assoluto è generato da $[K:\mathbb {Q} _{p}]+3$ elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg. Alcuni risultati sono noti per il caso $p=2,$ ma la struttura per $\mathbb {Q} _{2}$ non è nota.
• Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei numeri algebrici.

Bibliografia

• (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, 2ª ed., Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-37888-X.
• Adrien Douady, Détermination d'un groupe de Galois, in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 258, 1964, pp. 5305–5308.
• Michael D. Fried e Moshe Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11, 3rd, Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001.
• Dan Haran e Moshe Jarden, The absolute Galois group of C(x), in Pacific Journal of Mathematics, vol. 196, n. 2, 2000, pp. 445–459, DOI:10.2140/pjm.2000.196.445.
• David Harbater, Fundamental groups and embedding problems in characteristic p, in Recent developments in the inverse Galois problem, Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, RI, American Mathematical Society, pp. 353–369.
• Uwe Jannsen e Kay Wingberg, Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\mathfrak {p}}$-adischer Zahlkörper, in Inventiones Mathematicae, vol. 70, 1982, pp. 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, DOI:10.1007/bf01393199.
• Florian Pop, Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture, in Inventiones Mathematicae, vol. 120, n. 3, 1995, pp. 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, DOI:10.1007/bf01241142.

Collegamenti esterni

• (EN) Absolute Galois Group, su nLab. URL consultato il 28 novembre 2019.
• rappresentazione galoisiana, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.