Funzione di Lyapunov

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In matematica, le funzioni di Lyapunov, dal nome del matematico russo Aleksandr Mikhailovič Lyapunov, sono funzioni scalari che sono utilizzate per studiare la stabilità di un punto di equilibrio di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, che in particolare descrive un sistema dinamico.

Non c'è un metodo generale per costruire o trovare una "candidata" funzione di Lyapunov che prova la stabilità di un dato equilibrio, in ogni caso, l'incapacità di trovare una funzione di Lyapunov non implica automaticamente l'instabilità dell'equilibrio stesso. Per i sistemi dinamici (come i sistemi fisici) le leggi di conservazione forniscono spesso delle candidate funzioni di Lyapunov.

Il secondo teorema di stabilità di Lyapunov per i sistemi autonomi sono strettamente correlati con le (candidate) funzioni di Lyapunov e sono strumenti spesso utili per provare la stabilità degli equilibri di un sistema dinamico autonomo. Il secondo teorema di stabilità fornisce condizioni sufficienti ma non necessarie per provare la stabilità di un equilibrio.

Definizione di una candidata funzione di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Sia V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} una funzione scalare. V è detta candidata funzione di Lyapunov se è una funzione localmente definita positiva o, equivalentemente, se esiste un intorno U di x_0 tale che:

V(x_0) = 0
V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{x_0\}.

Secondo teorema di stabilità di Lyapunov[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Stabilità interna.

Sia x^* = 0 un punto di equilibrio del sistema autonomo:

\dot{x} = f(x)

e sia:

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} = \nabla V  \dot{x} = \nabla V f(x)

la derivata rispetto al tempo di una candidata funzione di Lyapunov V.

Equilibrio stabile[modifica | modifica wikitesto]

Se la derivata rispetto al tempo della candidata funzione di Lyapunov V è localmente semidefinita negativa, e cioè se esiste un intorno \mathcal{B} di 0 tale che:

\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}

allora l'equilibrio è stabile.

Equilibrio localmente attrattivo[modifica | modifica wikitesto]

Se la derivata rispetto al tempo della candidata funzione di Lyapunov V è localmente definita negativa, e cioè se esiste un intorno \mathcal{B} di 0 tale che:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

allora l'equilibrio è localmente attrattivo.

Equilibrio globalmente attrattivo[modifica | modifica wikitesto]

Se la candidate funzione di Lyapunov V è definita positiva su tutto il dominio e se la sua derivata rispetto al tempo è globalmente definita negativa, e cioè

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}

allora l'equilibrio è globalmente attrattivo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Alessandro Giua, Carla Seatzu, Analisi dei sistemi dinamici, Springer, 2006, ISBN 978-88-470-0284-5.
  • (EN) Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.

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