Funzione di Lyapunov

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In matematica, le funzioni di Lyapunov, dal nome del matematico russo Aleksandr Mikhailovič Lyapunov, sono funzioni che provano la stabilità di un certo punto fisso in un sistema dinamico o nelle equazioni differenziale autonome. Le funzioni che potrebbero provare la stabilità di un qualche punto di equilibrio sono dette candidate funzioni di Lyapunov.

Non c'è un metodo generale per costruire o trovare una candidata funzione di Lyapunov che prova la stabilità di un dato equilibrio, in ogni caso, l'incapacità di trovare una funzione di Lyapunov non implica automaticamente l'instabilità dell'equilibrio stesso. Per i sistemi dinamici (come i sistemi fisici) le leggi di conservazione forniscono spesso delle candidate funzioni di Lyapunov.

Il secondo teorema di stabilità di Lyapunov per i sistemi autonomi sono strettamente correlati con le (candidate) funzioni di Lyapunov e sono strumenti spesso utili per provare la stabilità degli equilibri di un sistema dinamico autonomo.

Bisogna essere consapevoli che il secondo teorema di stabilità di Lyapunov per i sistemi autonomi dà condizioni sufficienti ma non necessarie per provare la stabilità di un equilibrio.

Definizione di una candidata funzione di Lyapunov[modifica | modifica sorgente]

Sia

V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

una funzione scalare. V è detta candidata funzione di Lyapunov se ha un minimo relativo stretto in x_0 (equilibrio di un campo vettoriale) o, equivalentemente, se esiste un intorno U di x_0 tale che:

V'(x_0) = 0
V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{x_0\}

Secondo teorema di stabilità di Lyapunov[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Stabilità interna.

Sia

x^* = 0

un punto di equilibrio del sistema autonomo

\dot{x} = f(x)

e sia

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} = \nabla V  \dot{x} = \nabla V f(x)

la derivata rispetto al tempo di una candidata funzione di Lyapunov V.

Equilibrio stabile[modifica | modifica sorgente]

Se la derivata rispetto al tempo della candidata funzione di Lyapunov V è localmente semidefinita negativa, e cioè se esiste un intorno \mathcal{B} di 0 tale che:

\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B},

allora l'equilibrio è stabile.

Equilibrio localmente attrattivo[modifica | modifica sorgente]

Se la derivata rispetto al tempo della candidata funzione di Lyapunov V è localmente definita negativa, e cioè se esiste un intorno \mathcal{B} di 0 tale che:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\},

allora l'equilibrio è localmente attrattivo.

Equilibrio globalmente attrattivo[modifica | modifica sorgente]

Se la candidate funzione di Lyapunov V è definita positiva su tutto il dominio e se la sua derivata rispetto al tempo è globalmente definita negativa, e cioè

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

allora l'equilibrio è globalmente attrattivo.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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