Disuguaglianza di Friedrichs

In matematica, in particolare in analisi funzionale, la disuguaglianza di Friedrichs è un teorema dovuto a Kurt Friedrichs che limita la L^p-norma di un funzione attraverso la L^p-norma delle sue derivate deboli e la geometria del dominio di definizione. Il risultato può essere quindi utilizzato per dimostrare che alcune norme in uno spazio di Sobolev sono equivalenti.

Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ di diametro $d$, e sia $u:\Omega \to \mathbb {R}$ una funzione appartenente allo spazio di Sobolev $W_{0}^{k,p}(\Omega )$. Allora vale che:

$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$

Dove:

• $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ rappresenta la norma dello spazio $L^{p}(\Omega )$.
• $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ è un multi-indice con norma $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$;
• $D^{\alpha }u$ è la derivata parziale mista debole:

$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$

Bibliografia

• (EN) K.O. Friedrichs, "Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravititationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz" Math. Ann. , 98 (1927) pp. 566–575
• (EN) S.L. Sobolev, "Applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• (EN) S.M. Nikol'skii, P.I. Lizorkin, "On some inequalities for weight-class functions and boundary-value problems with a strong degeneracy at the boundary" Soviet Math. Dokl. , 5 (1964) pp. 1535–1539 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 159 : 3 (1964) pp. 512–515
• (EN) S.M. Nikol'skii, Approximation of functions of several variables and imbedding theorems , Springer (1975)

Voci correlate

• Derivata debole
• Disuguaglianza di Poincaré
• Norma (matematica)
• Spazio di Sobolev
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

• (EN) D.F. Kalinichenko, N.V. Miroshin, Friedrichs inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.