Derivata debole

In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio L¹.

Definizione

Sia $u$ una funzione in $L^1([a,b])$. Si dice che $v \in L^1([a,b])$ è la derivata debole di $u$ se, per ogni $\varphi \in C^\infty([a,b])$ tale che $\varphi(a)=\varphi(b)=0$, vale che

$\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt$

Questa definizione è motivata dalla tecnica di integrazione per parti.

Lo stesso concetto è generalizzabile per spazi a n dimensioni: se $u$ appartiene allo spazio delle funzioni localmente integrabili in $\Omega \subset \mathbb R^n$ (cioè fissato un punto x, $u$ è integrabile in un intorno $U \subset \Omega$ di x), ovvero se $u \in L^1_{loc}(\Omega)$, allora, dato un multi-indice $\alpha$, $v \in L^1_{loc}(\Omega)$ è detta α-esima derivata debole di $u$ se per ogni $\varphi \in C^\infty_C(U)$ (spazio delle funzioni infinitamente differenziabili e a supporto compatto), vale che

$\int_U u D^{\alpha} \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi$

Se $u$ ammette una derivata debole, essa è solitamente indicata come

$\mathrm{D}^{\alpha} u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}} \cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}} }.$

Esempi

• La funzione valore assoluto $u(t)=|t|$, non differenziabile per t=0, ammette come derivata debole $v$ la funzione segno:

$v(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{se } t > 0; \\ 0, & \mbox{se } t = 0; \\ -1, & \mbox{se } t < 0. \end{cases}$

• La funzione caratteristica dei numeri razionali $1_{\mathbb{Q}}$, che non è differenziabile in nessun punto del dominio, ammette derivata debole nulla: infatti, poiché la misura di Lebesgue di $\mathbb Q$ è 0, per ogni $\varphi$

$\int 1_{\mathbb{Q}}(t) \varphi(t) dt = 0$

Proprietà

• Se due funzioni sono la derivata debole della stessa funzione, allora differiscono su un insieme di misura nulla. Se si considerano classi di equivalenza di funzioni, la derivata debole diventa unica.
• Se una funzione è derivabile in senso tradizionale, allora la derivata e la derivata debole coincidono (sempre a meno di insiemi di misura nulla). Per questo la derivata debole è considerata una generalizzazione della derivata tradizionale. Inoltre, le regole classiche di derivazione di somma e prodotto si estendono immutate alle derivate deboli.

Bibliografia

• David Gilbarg; Neil Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Berlin, Springer, 2001, pp. 149. ISBN 3-540-41160-7
• Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1998, pp. 242. ISBN 0-8218-0772-2
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz, Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, New York, Springer, 2003, pp. 53. ISBN 0-387-95449-X

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