Derivata debole

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In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio L1.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia u una funzione in L^1([a,b]). Si dice che  v \in L^1([a,b]) è la derivata debole di u se, per ogni \varphi \in C^\infty([a,b]) tale che \varphi(a)=\varphi(b)=0, vale che

\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt

Questa definizione è motivata dalla tecnica di integrazione per parti.

Lo stesso concetto è generalizzabile per spazi a n dimensioni: se u appartiene allo spazio delle funzioni localmente integrabili in \Omega \subset \mathbb R^n (cioè fissato un punto x, u è integrabile in un intorno U \subset \Omega di x), ovvero se  u \in L^1_{loc}(\Omega), allora, dato un multi-indice \alpha,  v \in L^1_{loc}(\Omega) è detta α-esima derivata debole di u se per ogni \varphi \in C^\infty_C(U) (spazio delle funzioni infinitamente differenziabili e a supporto compatto), vale che

\int_U u D^{\alpha} \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi

Se  u ammette una derivata debole, essa è solitamente indicata come

\mathrm{D}^{\alpha} u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}} \cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}} }.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

v(t) = \begin{cases} 1, & \mbox{se } t > 0; \\ 0, & \mbox{se } t = 0; \\ -1, & \mbox{se } t < 0. \end{cases}
 \int 1_{\mathbb{Q}}(t) \varphi(t) dt = 0

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Se due funzioni sono la derivata debole della stessa funzione, allora differiscono su un insieme di misura nulla. Se si considerano classi di equivalenza di funzioni, la derivata debole diventa unica.
  • Se una funzione è derivabile in senso tradizionale, allora la derivata e la derivata debole coincidono (sempre a meno di insiemi di misura nulla). Per questo la derivata debole è considerata una generalizzazione della derivata tradizionale. Inoltre, le regole classiche di derivazione di somma e prodotto si estendono immutate alle derivate deboli.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • David Gilbarg, Neil Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Berlin, Springer, 2001, p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
  • Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1998, p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
  • Knabner, Peter; Angermann, Lutz, Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, New York, Springer, 2003, p. 53. ISBN 0-387-95449-X.
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