Cuore normale

Nella teoria dei gruppi il cuore normale (talvolta chiamato nocciolo) di un sottogruppo $H\leq G$, indicato generalmente con $H_{G}$ è il nucleo dell'azione di gruppi $\sigma :G\rightarrow S_{\Omega }$ con $\sigma (g):=\sigma _{g}:\Omega \rightarrow \Omega$ dove $\Omega =\{gH\subseteq G:g\in G\}$ definita da $\sigma _{g}(xH):=gxH$.

Proprietà

Si osserva che lo stabilizzatore di questa applicazione di gruppi è ${\text{Stab}}_{G}(xH)=\{g\in G:gxH=xH\}=\{g\in G:x^{-1}gxH=H\}=\{g\in G:x^{-1}gx\in H\}=\{g\in xHx^{-1}\}=xHx^{-1}$. Da questo deriva che $H_{G}={\text{ker}}(\sigma )=\bigcap _{x\in G}xHx^{-1}$.

Alcuni notevoli proprietà del cuore normale sono le seguenti:

• $H_{G}\trianglelefteq G$ cioè il cuore normale di un sottogruppo di $G$ è sempre un sottogruppo normale di $G$. Si vede immediatamente essendo ${\text{ker}}(\phi )\trianglelefteq G$ per ogni $\phi$ omomorfismo.
• $H_{G}\leq H$ ed è il più grande sottogruppo normale a $G$ contenuto in $H$: ovvero se $N\trianglelefteq G$ e $N\leq H$ implica $N\leq H_{G}$. Infatti banalmente $H_{G}\leq {\text{stab}}_{G}(H)=H$. Inoltre sia $N\trianglelefteq G$ con $N\leq H$. Dato $g\in G$ vale $gNg^{-1}\leq gHg^{-1}$ essendo $N$ normale questo è equivalente a $N\leq gHg^{-1}$ per ogni $g\in G$ quindi $N\leq \bigcap _{g\in G}gHg^{-1}=H_{G}$.
• Posto $m$ l'indice di $H_{G}$ in $G$, cioè $m=[G:H_{G}]$ e $n=[G:H]$ vale la relazione $m|n!$. Infatti per il primo teorema di isomorfismo si ha che $G/H_{G}=G/{\text{ker}}(\sigma )\cong \sigma (G)\leq S_{\Omega }$ da cui per il teorema di Lagrange $[G:H_{G}]||S_{\Omega }|$ ma la cardinalità di $\Omega$ è esattamente uguale al numero di classi laterali di $H$, cioè $n$, e quindi $|S_{\Omega }|=n!$.

Conseguenze

Un importante risultato che si può dedurre dalle proprietà elencate è il seguente:

Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il più piccolo numero primo che divide l'ordine di $G$. Allora se esiste $H\leq G$ tale che $[G:H]=p$ si ha $H\trianglelefteq G$.

Si ha infatti $[G:H_{G}]|p!$ ed essendo $[G:H_{G}]=[G:H][H:H_{G}]$ vale $[H:H_{G}]|(p-1)!$. Ma allora $[H:H_{G}]$ divide $|G|$ e $(p-1)!$ coprimi tra loro (per minimalità di $p$ primo come divisore di $|G|$), quindi necessariamente $[H:H_{G}]=1$ ovvero $H=H_{G}\trianglelefteq G$.