Calcolo di pi greco

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1leftarrow.pngVoce principale: Pi greco.

Esistono diversi metodi per il calcolo di π (pi greco).

Metodi standard[modifica | modifica wikitesto]

Cerchi[modifica | modifica wikitesto]

π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:

 A = \pi r^2\,\!,

che permette di calcolare esplicitamente π:

 \pi = A/r^2.

Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà la distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:

d=\sqrt{x^2+y^2}.

Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se

\sqrt{x^2+y^2} \le r.

Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di \pi.

La formula può essere scritta come:

\pi \approx \frac{1}{r^2} \sum_{x=-r}^{r} \; \sum_{y=-r}^{r} \Big(1\hbox{ se }\sqrt{x^2+y^2} \le r,\; 0\hbox{ altrimenti}\Big).

In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r2 per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.

Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:

r Area Approssimazione di π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.

Frazioni continue[modifica | modifica wikitesto]

A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:


\pi=3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{9}{6 + \cfrac{25}{6 + \cfrac{49}{6 + \cfrac{81}{6 + \cfrac{121}{\ddots\,}}}}}}

\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{49}{\ddots}}}}}}}

(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site [1].)

Trigonometria[modifica | modifica wikitesto]

La serie di Gregory-Leibniz

\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^i}{2i+1} + \cdots

è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare x=1; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di x; si giunge quindi a formule dove \pi si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Formule per \pi di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.

Considerando un triangolo equilatero ed osservando che

\sin(\frac{\pi}{6})=1/2

si trova che:

\pi = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{n!^2 (2n+1) 2^{4n}} = 3 + \frac{1}{8} + \frac{9}{640} + \frac{15}{7168} + ...


L'algoritmo Salamin-Brent[modifica | modifica wikitesto]

L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare \pi fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.

Metodi di estrazioni di cifre[modifica | modifica wikitesto]

Formula BBP (base 16)[modifica | modifica wikitesto]

La formula BBP(Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare \pi fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola \pi in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre"). [2]

\pi=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\left(\frac{1}{16}\right)^n

Miglioramento di Bellard (base 64)[modifica | modifica wikitesto]

Una formula alternativa per il calcolo di \pi in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.

[3]

\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-
\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\right)

Estensione ad una base arbitraria[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di \pi in una base arbitraria in un tempo O(n3log(n)3). [4]

Miglioramento usando la formula di Gosper[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n2). [5]

Progetti[modifica | modifica wikitesto]

Pi Hex[modifica | modifica wikitesto]

Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di \pi su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.

Background pi[modifica | modifica wikitesto]

Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi [6] cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) The Wolfram Functions Site
  2. ^ (EN) MathWorld: Formula BBP http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html
  3. ^ (EN) Sito di Bellard: http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html
  4. ^ (EN) Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, novembre 1996
  5. ^ (EN) Sito di Bellard: http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf
  6. ^ (EN) Background Pi

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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