Approssimazione diofantea

L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria.

La piccolezza della distanza (in valore assoluto) del numero reale da approssimare al numero razionale che lo approssima è una semplice misura di quanto buona sia l'approssimazione. Una più precisa misura considera quanto sia buona l'approssimazione in confronto alla grandezza del denominatore.

Attraverso l'uso di frazioni continue è possibile dimostrare che ogni convergente p/q di ogni numero irrazionale $\alpha$ è tale che

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$

Questa disuguaglianza può essere migliorata fino a dimostrare che per ogni irrazionale $\alpha$ esistono infiniti razionali p/q tali che

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$

Disuguaglianze più precise (ovvero dove $\sqrt{5}$ è sostituito da un numero maggiore) possono avere solamente un numero finito di soluzioni; questo è il caso se il numero irrazionale in questione è il numero aureo $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Joseph Liouville dimostrò nel 1844 che se il numero $\alpha$ è algebrico di grado n (cioè esiste un polinomio di grado n che lo ammette come radice, ma non esistono polinomi di grado inferiore con questa proprietà), allora vale

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{A}{q^n}$

per qualche costante A > 0. Liouville riuscì anche a costruire dei numeri che non verificano questa proprietà (i numeri di Liouville), che furono i primi esempi di numeri non algebrici, cioè trascendenti.

Anche questa disuguaglianza può essere migliorata. Axel Thue, Carl Ludwig Siegel e Klaus Roth migliorarono successivamente questo teorema: nel 1955, Roth enunciò quello che oggi è noto come teorema di Thue-Siegel-Roth, che afferma che per ogni $\varepsilon>0$ esistono solamente un numero finito di razionali p/q tali che

$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2+\varepsilon}}$

Bibliografia

• Harold Davenport, Aritmetica superiore. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 8808091546

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