Teorema della pizza: differenze tra le versioni

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Versione delle 17:38, 27 ott 2013

Esempio di applicazione del teorema per n = 8: tagliando la pizza lungo le linee blu e prendendo una fetta a testa, procedendo in senso orario o antiorario, due commensali mangiano la stessa quantità di pizza.

Il teorema della pizza è un teorema di geometria elementare che dimostra l'equiestensione di due aree ottenute partizionando in un certo modo un cerchio. Il nome del teorema deriva dal fatto che la costruzione imita il modo di tagliare la pizza.

Siano p un punto interno al disco e n un intero multiplo di quattro e maggiore o uguale ad otto. Si partiziona il disco in n settori equiangolari, costruiti tracciando una retta per p e ruotandola n/2 − 1 volte di un angolo pari a 2π/n. Se si numerano progressivamente i settori in senso orario o antiorario, allora la somma delle aree dei settori pari è uguale alla somma delle aree dei settori dispari (upton).

Come conseguenza immediata, se due persone tagliano una pizza in 4n + 4 settori equiangolari centrati in un punto qualsiasi e si alternano prendendo una fetta a testa, percorrendo la pizza in senso orario o antiorario, entrambi ne mangeranno la stessa quantità.

Storia

Dimostrazione senza parole di 1994a per il problema ad otto settori.

Il teorema è stato proposto come problema da upton e la soluzione pubblicata, sottoposta da Michael Goldberg, è basata sulla manipolazione algebrica dell'espressione che calcola le aree dei settori. Una dimostrazione senza parole per il problema ad otto settori è stata elaborata da 1994a, dimostrando che esiste una opportuna partizione dei settori in modo che ogni blocco appartenente ad una fetta pari sia congruente ad un altro blocco di una fetta dispari. fredrickson ha formulato una famiglia di dimostrazioni di questo tipo che coprono tutti i casi possibili del problema.

Generalizzazioni

La condizione che il numero di settori sia multiplo di quattro e maggiore di quattro è necessaria: come dimostrato da Don Coppersmith, se il numero di settori è pari a quattro o non è divisibile per quattro, il teorema non è vero in generale.

mabry hanno risolto un problema correlato, posto in 1994b, elaborando una versione più precisa del teorema, che indica quali delle due aree sia maggiore dell'altra nel caso non sussista l'uguaglianza:[1]

  • se il numero dei settori è congruo a 2 (mod 8) e nessun taglio passa per il centro del disco, allora l'insieme di fette tra le quali è presente quella contenente il centro ha area minore dell'altro;
  • se il numero dei settori è congruo a 6 (mod 8) e nessun taglio passa per il centro del disco, allora l'insieme di fette tra le quali è presente quella contenente il centro ha area maggiore dell'altro;
  • se un taglio passa per il centro, la costruzione è simmetrica e i due insiemi di fette hanno la stessa area indipendentemente dal numero di settori.

mabry osservano anche che, se si definisce la crosta come il perimetro del disco oppure come una corona circolare compresa tra il perimetro ed una seconda circonferenza concentrica e di raggio minore, quando la pizza è divisa in parti uguali lo è anche la crosta. Essendo infatti equamente divise fra i due insiemi di fette le aree sia del disco maggiore sia di quello minore, lo sarà anche la loro differenza, che è appunto la crosta. Se invece la pizza è divisa in parti diverse, chi riceve più pizza riceve anche meno crosta.

hirschhorn evidenzia che se la pizza è divisa in parti uguali lo sono anche i condimenti, se essi sono distribuiti su un disco (non necessariamente concentrico alla pizza) contenente il punto p nel quale è centrata la divisione dei settori.

Risultati correlati

Esempio con n = 12: l'area verde è uguale all'area arancione. Inoltre, secondo hirschhorn, scegliendo opportunamente i settori è inoltre possibile dividere il disco in quattro insiemi equiestesi.

hirschhorn dimostra che se una pizza è equamente divisa secondo le condizioni del teorema (in un numero n di fette equiangolari con n multiplo di quattro) allora può essere equamente divisa anche tra n/4 persone. Quindi, ad esempio, una pizza tagliata in dodici fette che rispettino le ipotesi del teorema potrà essere suddivisa equamente tra quattro commensali, una divisa in venti fette tra cinque.

cibulka&al e knauer&al hanno studiato, dal punto di vista della teoria dei giochi, la strategia di scelta delle fette in maniera tale da ottenere la maggiore quantità di pizza. Nella versione del problema da loro studiata, la pizza è affettata radialmente (senza l'ipotesi dei settori equiangolari) e due commensali si alternano nel prendere una fetta a testa, purché sia adiacente ad una fetta già presa. Se i due commensali scelgono le fette in maniera da tentare entrambi di massimizzare la propria quantità di pizza presa, chi prende la prima fetta può può assicurarsi i 4/9 della pizza, ed esiste una divisione della stessa tale che egli non possa prenderne di più. Un problema correlato più generale è quello dell'equa suddivisione (o del "taglio della torta"), che considera giochi simili nei quali più giocatori possono avere varie regole per misurare le porzioni prese (ad esempio, un commensale può preferire massimizzare la quantità di peperoni, mentre un altro può cercare di prendere più formaggio possibile).

Altri risultati matematici correlati al taglio della pizza coinvolgono la successione dei numeri poligonali centrali, che conta il numero di pezzi ottenuti tagliando la pizza lungo linee che non passano tutte per lo stesso punto. Il teorema di Stone-Tukey (noto come teorema del panino al prosciutto) dimostra che per n oggetti qualsiasi in uno spazio n-dimensionale esiste un opportuno iperpiano (n − 1)-dimensionale che li biseca simultaneamente: la sua applicazione al caso bidimensionale mostra che esiste sempre una retta che divide in due parti uguali due pizze oppure esiste un taglio rettilineo che divide in parti uguali sia una pizza che la sua crosta.

Note

  1. ^ Notare che non si considerano le congruenze a numeri dispari, in quanto con il tipo di costruzione impiegata il numero di fette risulta sempre pari. Le congruenze a 4 (mod 8) e a 8≡0 (mod 8) ricadono nella formulazione originale del teorema.

Bibliografia

Collegamenti esterni

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