Distribuzione lognormale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Variabile casuale logonormale)
Distribuzione lognormale
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Mediana
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria il cui logaritmo segue una distribuzione normale.

Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La variabile aleatoria segue la distribuzione lognormale se e solo se segue la distribuzione normale .

La sua funzione di densità di probabilità è

per .

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

dove è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di

.

In particolare si trovano

.

I parametri possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione .

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

e .

La moda della distribuzione è .

La mediana è e si trova immediatamente tramite la mediana di : .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale allora

  • segue la distribuzione normale .

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

  • segue ancora una distribuzione normale e
  • segue una distribuzione lognormale .

In particolare seguono una distribuzione lognormale

  • i multipli scalari ,
  • le potenze
  • e l'inverso di .

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi e differiscono soltanto di un fattore .

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, ).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica