In analogia alla cicloide quale curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta, si definisce cicloide ellittica la curva tracciata da un punto fisso collocato in corrispondenza degli assi di un'ellisse che rotola lungo una retta, essa è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette .
In particolare si possono avere due casi:
punto di appoggio in corrispondenza dell'asse minore definita cicloide ellittica orizzontale o in breve CEH ;
punto di appoggio in corrispondenza dell'asse maggiore definita cicloide ellittica verticale o in breve CEV .
Cicloide Ellittica Orizzontale
Cicloide Ellittica Verticale
E
(
x
;
k
)
=
E
(
ϕ
|
m
)
=
E
(
ϕ
∖
α
)
=
∫
0
ϕ
1
−
sin
2
α
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle E(x;k)=E(\phi |m)=E(\phi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\theta }}\ d\theta }
L
f
(
x
T
)
=
∫
0
(
x
T
)
a
2
−
k
2
x
T
2
a
2
−
x
T
2
d
x
T
{\displaystyle L_{f\left(x_{T}\right)}=\int _{0}^{\left(x_{T}\right)}{\sqrt {\frac {a^{2}\left.-{{k^{2}x}_{T}}^{2}\right.}{a^{2}\left.-{x_{T}}^{2}\right.}}}dx_{T}}
=
∫
0
x
T
a
2
−
k
2
x
T
2
a
2
−
x
T
2
d
x
T
{\displaystyle =\int _{0}^{x_{T}}{\sqrt {\frac {a^{2}\left.-{{k^{2}x}_{T}}^{2}\right.}{a^{2}\left.-{x_{T}}^{2}\right.}}}dx_{T}}
.
a
(
a
2
−
b
2
)
(
5
a
2
−
b
2
)
−
a
2
−
b
2
(
a
2
−
b
2
)
(
5
a
2
−
b
2
)
−
a
2
−
b
2
{\displaystyle a{\sqrt {\frac {\sqrt {(a^{2}-b^{2})(5a^{2}-b^{2})-a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {(a^{2}-b^{2})(5a^{2}-b^{2})-a^{2}-b^{2}}}}}}
{
R
c
C
E
f
(
x
T
)
=
±
a
2
b
(
a
±
a
2
−
x
T
2
)
[
a
(
a
2
+
b
2
)
∓
(
a
2
−
b
2
)
a
2
−
x
T
2
]
[
(
a
2
−
b
2
)
(
a
±
a
2
−
x
T
2
)
a
2
−
x
T
2
∓
a
4
]
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle \left\{\,{R_{c}{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}=\pm {\frac {{a}^{2}b\left(a\pm {\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\right)\left[a\left({a}^{2}+{b}^{2}\right)\mp \left({a}^{2}-{b}^{2}\right){\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\,\right]}{\left[\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left(a\pm {\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\right){\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\mp {a}^{4}\right]{\sqrt {{a}^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)}}}}}\right.}
' "cerchio" e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva Testo in grassetto piana appartenente alla categoria delle rullette . Essa è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.
Una cicloide (in rosso) è generata da un punto su una circonferenza (in blu) che rotola su di una retta. Studi che presentano analogie con la cicloide ellittica furono condotti nel 1841 da Charles-Eugène Delaunay per la curva generata da un fuoco dell'ellisse durante il rotolamento su di una retta "Rulletta di Delanay" e nello stesso anno da Jacques Charles François Sturm per la curva generata dal centro dell'ellisse durante il rotolamento su di una retta "Rulletta di Sturm". Altri studi per la curva generata da un fuoco dell'ellisse durante il rotolamento su di una retta, furono condotti da Lorenz Lindelöf nel 1861. La cicloide ellittica , come definita in questa voce, è opera di uno studio condotto da Francesco Franco nel 1988.
In rappresentazione parametrica la cicloide ellittica passante per l'origine generata da un'ellisse di semiassi
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
{
X
C
E
f
(
x
T
)
=
1
a
∫
0
x
T
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
a
2
−
x
T
2
d
x
T
−
x
T
a
b
2
∓
(
a
2
−
b
2
)
a
2
−
x
T
2
a
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
Y
C
E
f
(
x
T
)
=
a
b
a
±
a
2
−
x
T
2
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}X_{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\color {red}{x_{T}}}{\sqrt {\frac {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}{a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}\,d{\color {red}{x_{T}}}\,-{\color {red}{x_{T}}}{\frac {ab^{2}\mp {({a}^{2}-{b}^{2}){\sqrt {a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}}{a{\sqrt {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}}}}\\Y_{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}=ab{\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}{\sqrt {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}}}\end{cases}}.}
{
X
C
E
f
(
x
T
)
=
1
a
∫
0
x
T
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
a
2
−
x
T
2
d
x
T
−
x
T
a
b
2
∓
(
a
2
−
b
2
)
a
2
−
x
T
2
a
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle \left\{\,X_{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\color {red}{x_{T}}}{\sqrt {\frac {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}{a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}\,d{\color {red}{x_{T}}}\,-{\color {red}{x_{T}}}{\frac {ab^{2}\mp {({a}^{2}-{b}^{2}){\sqrt {a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}}{a{\sqrt {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}}}}\right.}
{
Y
C
E
f
(
x
T
)
=
a
b
a
±
a
2
−
x
T
2
a
4
−
x
T
2
(
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle \left\{\,Y_{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}=ab{\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}}{\sqrt {a^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}(a^{2}-b^{2})}}}\right.}
dove il parametro
x
T
{\displaystyle {\color {red}{x_{T}}}}
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
Altra rappresentazione parametrica, è la seguente:
{
X
P
f
(
α
)
=
a
b
∫
0
α
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
)
3
d
α
−
b
sin
α
b
2
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
+
a
(
a
2
−
b
2
)
cos
α
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
.
{\displaystyle {\begin{cases}X_{Pf(\alpha )}=ab\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\frac {a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }{(a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha )^{3}}}}d\alpha -b\sin \alpha {\frac {b^{2}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}+a(a^{2}-b^{2})\cos \alpha }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}{\sqrt {a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }}}}\end{cases}}.}
{
X
P
f
(
α
)
=
a
b
∫
0
α
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
)
3
d
α
−
b
sin
α
b
2
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
+
a
(
a
2
−
b
2
)
cos
α
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
{\displaystyle \left\{\,X_{Pf(\alpha )}=ab\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\frac {a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }{(a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha )^{3}}}}d\alpha -b\sin \alpha {\frac {b^{2}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}+a(a^{2}-b^{2})\cos \alpha }{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}{\sqrt {a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }}}}\right.}
{
Y
P
f
(
α
)
=
a
b
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
−
a
cos
α
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
{\displaystyle \left\{\,Y_{Pf(\alpha )}=ab{\frac {{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}-a\cos \alpha }{\sqrt {a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }}}\right.}
dove
α
{\displaystyle \alpha }
L'elemento infinitesimale di area è pari a:
d
A
=
Y
(
α
)
d
X
(
α
)
d
α
d
α
=
a
b
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
α
2
−
a
cos
α
)
a
4
cos
α
2
+
b
4
sin
2
α
a
3
b
3
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
−
a
cos
α
)
(
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
)
3
{\displaystyle dA=Y(\alpha ){\frac {dX(\alpha )}{d\alpha }}d\alpha ={\frac {ab\left({\sqrt {{a}^{2}\cos ^{2}\alpha +{b}^{2}\sin \alpha ^{2}}}-a\cos \alpha \right)}{\sqrt {{a}^{4}\cos \alpha ^{2}+{b}^{4}\sin ^{2}\alpha }}}{\frac {{a}^{3}{b}^{3}\left({\sqrt {{a}^{2}\cos ^{2}\alpha +{b}^{2}\sin ^{2}\alpha }}-a\cos \alpha \right)}{\sqrt {\left({a}^{4}\cos ^{2}\alpha +{b}^{4}\sin ^{2}\alpha \right)^{3}}}}}
Nel caso della cicloide ellittica orizzontale , si ha
d
A
=
a
b
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
α
2
−
a
cos
α
)
a
4
cos
α
2
+
b
4
sin
2
α
a
3
b
3
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
−
a
cos
α
)
(
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
)
3
{\displaystyle dA={\frac {ab\left({\sqrt {{a}^{2}\cos ^{2}\alpha +{b}^{2}\sin \alpha ^{2}}}-a\cos \alpha \right)}{\sqrt {{a}^{4}\cos \alpha ^{2}+{b}^{4}\sin ^{2}\alpha }}}{\frac {{a}^{3}{b}^{3}\left({\sqrt {{a}^{2}\cos ^{2}\alpha +{b}^{2}\sin ^{2}\alpha }}-a\cos \alpha \right)}{\sqrt {\left({a}^{4}\cos ^{2}\alpha +{b}^{4}\sin ^{2}\alpha \right)^{3}}}}}
da cui, l'area sotto un solo arco è:
A
C
E
H
=
2
∫
0
π
a
4
b
4
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
α
2
−
a
cos
α
)
2
(
a
4
cos
α
2
+
b
4
sin
2
α
)
2
d
α
=
(
a
2
+
2
b
2
)
π
{\displaystyle A_{CEH}=2\int _{0}^{\pi }{\frac {{a}^{4}{b}^{4}\left({\sqrt {{a}^{2}\cos ^{2}\alpha +{b}^{2}\sin \alpha ^{2}}}-a\cos \alpha \right)^{2}}{\left({a}^{4}\cos \alpha ^{2}+{b}^{4}\sin ^{2}\alpha \right)^{2}}}d\alpha =\left(a^{2}+2b^{2}\right)\pi }
mentre nel caso della cicloide ellittica verticale , si ha
d
A
=
a
b
(
a
2
sin
2
α
+
b
2
cos
α
2
−
b
cos
α
)
a
4
sin
α
2
+
b
4
cos
2
α
a
3
b
3
(
a
2
sin
2
α
+
b
2
cos
2
α
−
b
cos
α
)
(
a
4
sin
2
α
+
b
4
cos
2
α
)
3
{\displaystyle dA={\frac {ab\left({\sqrt {{a}^{2}\sin ^{2}\alpha +{b}^{2}\cos \alpha ^{2}}}-b\cos \alpha \right)}{\sqrt {{a}^{4}\sin \alpha ^{2}+{b}^{4}\cos ^{2}\alpha }}}{\frac {{a}^{3}{b}^{3}\left({\sqrt {{a}^{2}\sin ^{2}\alpha +{b}^{2}\cos ^{2}\alpha }}-b\cos \alpha \right)}{\sqrt {\left({a}^{4}\sin ^{2}\alpha +{b}^{4}\cos ^{2}\alpha \right)^{3}}}}}
da cui, l'area sotto un solo arco è:
A
C
E
V
=
2
∫
0
π
a
4
b
4
(
a
2
sin
2
α
+
b
2
cos
α
2
−
b
cos
α
)
2
(
a
4
sin
α
2
+
b
4
cos
2
α
)
2
d
α
=
(
2
a
2
+
b
2
)
π
{\displaystyle A_{CEV}=2\int _{0}^{\pi }{\frac {{a}^{4}{b}^{4}\left({\sqrt {{a}^{2}\sin ^{2}\alpha +{b}^{2}\cos \alpha ^{2}}}-b\cos \alpha \right)^{2}}{\left({a}^{4}\sin \alpha ^{2}+{b}^{4}\cos ^{2}\alpha \right)^{2}}}d\alpha =\left(2a^{2}+b^{2}\right)\pi }
a
=
b
=
r
{\displaystyle a=b=r}
cicloide ellittica in generale diventa una cicloide ordinaria e l'area vale
A
=
3
r
2
π
{\displaystyle A=3r^{2}\pi }
Inoltre, si presentano i seguenti
4
{\displaystyle 4}
ellisse rotolante in orizzontale che degenera contraendosi verticalmente
b
=
0
{\displaystyle b=0}
A
C
E
H
=
a
2
π
{\displaystyle A_{CEH}=a^{2}\pi }
ellisse rotolante in orizzontale che degenera contraendosi orizzontalmente
a
=
0
{\displaystyle a=0}
A
C
E
H
=
2
b
2
π
{\displaystyle A_{CEH}=2b^{2}\pi }
ellisse rotolante in verticale che degenera contraendosi verticalmente
a
=
0
{\displaystyle a=0}
A
C
E
V
=
b
2
π
{\displaystyle A_{CEV}=b^{2}\pi }
ellisse rotolante in verticale che degenera contraendosi orizzontalmente
b
=
0
{\displaystyle b=0}
A
C
E
V
=
2
a
2
π
{\displaystyle A_{CEV}=2a^{2}\pi }
Il baricentro della figura racchiusa tra il primo arco di cicloide e l'asse delle
x
{\displaystyle x}
x
G
=
2
a
E
(
k
)
{\displaystyle x_{G}=2a\,{\it {E}}\left(k\right)}
dove
k
=
a
2
−
b
2
a
{\displaystyle k={\frac {\sqrt {{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}}}
L'ordinata del baricentro può essere calcolata usando la formula:
y
G
=
∫
y
d
x
d
y
∫
d
x
d
y
{\displaystyle y_{G}={\frac {\int ydxdy}{\int dxdy}}}
che possiamo riscrivere nella forma:
y
G
=
1
2
∫
y
2
d
x
∫
y
d
x
=
1
2
∫
0
2
π
a
5
b
5
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
−
a
cos
α
)
3
(
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
)
5
d
α
∫
0
2
π
a
4
b
4
(
a
2
cos
2
α
+
b
2
sin
2
α
−
a
cos
α
)
2
(
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
)
2
d
α
{\displaystyle y_{G}={\frac {{\frac {1}{2}}\int y^{2}dx}{\int ydx}}={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }a^{5}b^{5}{\frac {\left({\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}-a\cos \alpha \right)^{3}}{\sqrt {\left(a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha \right)^{5}}}}d\alpha }{\int _{0}^{2\pi }a^{4}b^{4}{\frac {\left({\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}-a\cos \alpha \right)^{2}}{\left(a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha \right)^{2}}}d\alpha }}}
L'integrale al denominatore restituisce l'area della figura calcolata al punto precedente.
Effettuando i calcoli troviamo
y
G
=
2
3
π
a
{
2
E
(
k
)
−
b
2
(
a
2
−
4
b
2
)
(
a
2
−
b
2
)
(
a
2
+
2
b
2
)
[
K
(
k
)
−
E
(
k
)
]
}
{\displaystyle y_{G}={\frac {2}{3\pi }}\,a\left\{2\,{\it {E}}\left(k\right)-{\frac {{b}^{2}\left({a}^{2}-4\,{b}^{2}\right)}{\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left({a}^{2}+2\,{b}^{2}\right)}}\left[{\it {K}}\left(k\right)-{\it {E}}\left(k\right)\right]\right\}}
Dove
K
(
k
)
{\displaystyle K\left(k\right)}
integrale ellittico di prima specie completo e
E
(
k
)
{\displaystyle E\left(k\right)}
integrale ellittico di seconda specie completo.
Il baricentro della figura sottesa dal primo arco della cicloide ha quindi baricentro in
(
x
G
;
y
G
)
=
(
2
a
E
(
k
)
;
2
3
π
a
{
2
E
(
k
)
−
b
2
(
a
2
−
4
b
2
)
(
a
2
−
b
2
)
(
a
2
+
2
b
2
)
[
K
(
k
)
−
E
(
k
)
]
}
)
{\displaystyle (x_{G};y_{G})=\left(2a\,{\it {E}}\left(k\right);{\frac {2}{3\pi }}\,a\left\{2\,{\it {E}}\left(k\right)-{\frac {{b}^{2}\left({a}^{2}-4\,{b}^{2}\right)}{\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left({a}^{2}+2\,{b}^{2}\right)}}\left[{\it {K}}\left(k\right)-{\it {E}}\left(k\right)\right]\right\}\right)}
La lunghezza completa della traccia generata da un rotolamento completo, in considerazione della sua simmetria, in generale è data da:
10
{\displaystyle 10}
L
=
2
a
b
∫
0
2
π
a
2
sin
2
α
+
b
2
(
1
+
cos
α
)
2
a
4
cos
2
α
+
b
4
sin
2
α
d
α
{\displaystyle L=2\,ab\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\alpha +b^{2}\left(1+\cos \alpha \right)^{2}}}{a^{4}\cos ^{2}\alpha +b^{4}\sin ^{2}\alpha }}d\alpha }
La soluzione esplicita dell'integrale pseudoellittico, conduce a due formule distinte a secondo che:
:
a
>
b
{\displaystyle a>b}
L
C
E
H
=
2
k
[
4
−
3
k
2
−
2
k
3
+
3
k
(
π
−
arccos
k
4
−
3
k
2
−
1
1
−
k
2
)
+
4
−
3
k
2
+
2
k
3
−
3
k
ln
(
k
4
−
3
k
2
+
1
+
2
k
4
−
3
k
2
−
2
k
3
+
3
k
1
−
k
2
)
]
{\displaystyle L_{CEH}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {k}}}\left[{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-2\,{k}^{3}+3\,k}}\left(\pi -\arccos {\frac {k{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-1}{1-{k}^{2}}}\right)+{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}+2\,{k}^{3}-3\,k}}\ln \left({\frac {k{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}+1+{\sqrt {2}}{\sqrt {k}}{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-2\,{k}^{3}+3\,k}}}{1-{k}^{2}}}\right)\right]}
:
a
<
b
{\displaystyle a<b}
L
C
E
V
=
2
k
[
(
1
+
k
)
2
−
k
arcsin
(
k
2
−
k
)
+
(
1
−
k
)
2
+
k
ln
(
1
+
k
+
k
2
+
k
)
]
{\displaystyle L_{CEV}={\frac {2}{\sqrt {k}}}{\left[\left(1+k\right){\sqrt {2-k}}\arcsin \left({\sqrt {k}}{\sqrt {2-k}}\right)+\left(1-k\right){\sqrt {2+k}}\ln \left(1+k+{\sqrt {k}}{\sqrt {2+k}}\right)\right]}}
curvatura è:
K
(
t
)
=
−
|
csc
(
t
2
)
|
4
r
{\displaystyle K(t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}
DA MODIFICARE
DA MODIFICARE
Le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:
l'altezza massima dell'arco è pari al suo diametro ;
la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro[1]
4
h
{\displaystyle 4h}
la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza[2]
π
h
{\displaystyle \pi h}
l'area compresa fra un arco di cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio.
Quando la circonferenza mobile rotola su di una retta si parla sempre di cicloide (ordinaria, allungata o accorciata a seconda che il punto solidale alla circonferenza mobile disti dal centro di detta circonferenza una distanza pari, maggiore o minore del raggio). La cicloide ordinaria ha delle cuspidi, quella allungata ha delle asole, quella accorciata si presenta come una curva ondulata.
Le trocoidi (ipotrocoide , epitrocoide ) rappresentano una generalizzazione delle epi- e delle ipocicloidi ottenute facendo rotolare una circonferenza mobile all'esterno o all'interno di una circonferenza fissa.
^ Questa proprietà fu dimostrata da Christopher Wren nel 1658 , consecutivamente ad una sfida lanciata dal Pascal agli altri matematici dell'epoca.
^ Questa semplice e forse banale proprietà fu la prima formalizzata da padre Mersenne .
(EN Martin Gardner , The Cycloid: Helen of Geometry , in Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American , 1971, pp. 127-134, ISBN 0-226-28250-3 .
Categoria:Curve piane
![{\displaystyle \left\{\,{R_{c}{CE{f({\color {red}{x_{T}}})}}=\pm {\frac {{a}^{2}b\left(a\pm {\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\right)\left[a\left({a}^{2}+{b}^{2}\right)\mp \left({a}^{2}-{b}^{2}\right){\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\,\right]}{\left[\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left(a\pm {\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\right){\sqrt {{a}^{2}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}}}\mp {a}^{4}\right]{\sqrt {{a}^{4}-{\color {red}{x_{T}}}^{2}\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)}}}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3768a45758d6bd66513cdad286b12600d9f02e83)
![{\displaystyle y_{G}={\frac {2}{3\pi }}\,a\left\{2\,{\it {E}}\left(k\right)-{\frac {{b}^{2}\left({a}^{2}-4\,{b}^{2}\right)}{\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left({a}^{2}+2\,{b}^{2}\right)}}\left[{\it {K}}\left(k\right)-{\it {E}}\left(k\right)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e3d51f33ab23055e789014a4d265f87d6bec31)
![{\displaystyle (x_{G};y_{G})=\left(2a\,{\it {E}}\left(k\right);{\frac {2}{3\pi }}\,a\left\{2\,{\it {E}}\left(k\right)-{\frac {{b}^{2}\left({a}^{2}-4\,{b}^{2}\right)}{\left({a}^{2}-{b}^{2}\right)\left({a}^{2}+2\,{b}^{2}\right)}}\left[{\it {K}}\left(k\right)-{\it {E}}\left(k\right)\right]\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbe4d8253f6e1032324636542ed24e8b498d413)
![{\displaystyle L_{CEH}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {k}}}\left[{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-2\,{k}^{3}+3\,k}}\left(\pi -\arccos {\frac {k{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-1}{1-{k}^{2}}}\right)+{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}+2\,{k}^{3}-3\,k}}\ln \left({\frac {k{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}+1+{\sqrt {2}}{\sqrt {k}}{\sqrt {{\sqrt {4-3\,{k}^{2}}}-2\,{k}^{3}+3\,k}}}{1-{k}^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f92af6df31c69c60c7c40fe5177533ff2784d48)
![{\displaystyle L_{CEV}={\frac {2}{\sqrt {k}}}{\left[\left(1+k\right){\sqrt {2-k}}\arcsin \left({\sqrt {k}}{\sqrt {2-k}}\right)+\left(1-k\right){\sqrt {2+k}}\ln \left(1+k+{\sqrt {k}}{\sqrt {2+k}}\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4f366b2438f0660055d27ab7e9e1ab287eb8ac)
