Teoremi di Gerschgorin

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In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin.

Cerchi di Gershgorin[modifica | modifica wikitesto]

Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gershgorin.

Sia una matrice , scrivibile come ; si consideri la riga -esima di , e più precisamente l'elemento diagonale e la somma dei moduli degli elementi fuori della diagonale:

Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso:

corrispondente ad un disco di raggio centrato in , che viene detto -esimo cerchio di Gershgorin della matrice A.

Primo teorema di Gershgorin[modifica | modifica wikitesto]

Sia una matrice come sopra. Allora gli autovalori di appartengono alla regione del piano complesso individuata dall'intersezione tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna . In formule:

Dimostrazione : Sia λ un autovalore di A e sia x = l'autovettore corrispondente. Scegliamo in modo che . (Questo equivale a dire: scegliere in modo che sia la più grande (in valore assoluto) coordinata del vettore x) Allora altrimenti x=0. Poiché x è un autovettore, e quindi:

Allora, scomponendo la somma otteniamo

Possiamo dividere entrambi i membri per (scegliendo i come sopra abbiamo che ) e passando ai moduli otteniamo

dove l'ultima disuguaglianza vale poiché

Secondo teorema di Gershgorin[modifica | modifica wikitesto]

Detta , se allora esattamente autovalori appartengono a e i restanti appartengono a

Terzo teorema di Gershgorin[modifica | modifica wikitesto]

Se la matrice A è irriducibile ed autovalore di A contenuto in allora sta sulla frontiera di ogni .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1988.

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