Ovale di Cassini

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Alcuni ovali di Cassini aventi i fuochi in (-1, 0) e (1, 0). Le curve sono caratterizzate dai valori di b2.

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti p del piano tali che, considerati due punti del piano prefissati q1 e q2, è costante il prodotto della distanza di p da q1 per la distanza di p da q2. Formalmente, se denotiamo con dist(a,b) la distanza tra due punti a e b del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano una equazione

nella quale b è una opportuna costante numerica.

I punti q1 e q2 sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano q1 = (a,0) e q2 = (-a,0), i punti dell'ovale soddisfano l'equazione

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono

e

Una equazione equivalente in coordinate polari è

La forma dell'ovale dipende dal rapporto b/a. Quando b/a è maggiore di 1 il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando b/a è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando b/a = 1, il luogo si riduce a una lemniscata.

Se a = b la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per x = ±i, y = 1 e z = 0 e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando una omotetia, cioè sostituendo ax con x e ay con y, otteniamo la famiglia di curve ad un parametro caratterizzate dell'equazione

che ha come j-invariante

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può assimilare alla ellisse, curva per la quale è costante, invece di un prodotto di distanze, la somma

.

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