Ovale di Cassini

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Alcuni ovali di Cassini aventi i fuochi in (-1, 0) e (1, 0). Le curve sono caratterizzate dai valori di b2.

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti del piano tali che, considerati due punti del piano fissati e è costante il prodotto della distanza di da per la distanza di da Formalmente, se denotiamo con la distanza tra due punti e del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:

nella quale è un reale positivo.

I punti e sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano e per un reale positivo i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:

e

Un'equazione equivalente in coordinate polari è

La forma dell'ovale dipende dal rapporto Quando è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando il luogo si riduce a una lemniscata.

Se la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per e e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo con e con otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione

che ha come j-invariante

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze

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