Algebra elementare: differenze tra le versioni
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Versione delle 19:07, 18 feb 2013
L'algebra elementare è il più semplice tipo di algebra insegnata agli studenti che si presume non abbiano alcuna conoscenza matematica oltre ai principi di base dell'aritmetica. Mentre in aritmetica compaiono solo numeri (prevalentemente numeri interi e razionali) e le operazioni (come +, −, ×, ÷), in algebra si usano anche simboli (come a, x, y) per indicare numeri.[non chiaro] Ciò è di grande utilità perché:
- consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali
- consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x tale che )
- consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x biglietti, allora il profitto sarà euro")
Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono e . Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: . Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.
Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari, come
La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della x. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo
e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione
Equazioni come
sono note come equazioni quadratiche e si risolvono con una formula risolutiva.
Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:
Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y. Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x e y, avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:
Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:
Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:
In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2.
Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.
Sostituiamo 2 al posto di x.
Semplifichiamo
E risolviamo per y, ottenendo 3. La soluzione di questo problema è x = 2 e y = 3, ossia la coppia (2, 3).
Leggi di algebra elementare (su un campo)
- L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere un numero negativo:
- La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- Se ab = 0, allora a = 0 o b = 0 (legge di annullamento del prodotto).
- L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
- La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: .
- La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: .
- Come combinare gli esponenti: .
- Se a = b e b = c, allora (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
- (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
- Se allora (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
- Se e allora .
- Se allora per ogni c, per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se e allora = .
- Se allora per ogni c per via della riflessività dell'uguaglianza.
- Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
- Se e allora (transitività della disuguaglianza).
- Se allora per ogni c.
- Se e allora .
- Se e allora .
l algebra fa schifooo