Campo vettoriale conservativo

Nel calcolo vettoriale, un campo vettoriale conservativo è un campo vettoriale caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare.

Definizione

Un campo vettoriale $V$ si dice conservativo se esiste un campo scalare $U$ tale che

$\mathbf {V} =\nabla U$

dove $\nabla$ è l'operatore gradiente. Se $U$ esiste, è detto potenziale scalare per il campo $V$.
Il teorema fondamentale del calcolo vettoriale afferma che ogni campo vettoriale può essere espresso come la somma di un campo vettoriale conservativo e un campo vettoriale solenoidale.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano $\mathbf {V} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, $U:A\rightarrow \mathbb {R}$, e la scrittura per esteso del campo è:

$V_{x}(x,y,z)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,y,z)$

$V_{y}(x,y,z)={\frac {\partial U}{\partial y}}(x,y,z)$

$V_{z}(x,y,z)={\frac {\partial U}{\partial z}}(x,y,z)$

In tal caso U viene detto potenziale di V. Il potenziale è determinato a meno di una costante additiva: se ad U si aggiunge una costante le sue derivate parziali non cambiano, quindi queste uguaglianze rimangono soddisfatte.

In generale un campo vettoriale non ammette sempre un potenziale. Condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che siano soddisfatte le uguaglianze

${\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}(x,y,z)={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}(x,y,z)$

${\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}(x,y,z)={\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}(x,y,z)$

${\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}(x,y,z)={\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}(x,y,z)$

che introducendo l'operatore rotore si possono scrivere in forma compatta come

$\operatorname {rot} \,\mathbf {V} =\nabla \times \mathbf {V} =0$

Infatti, se esiste un potenziale U, le derivate parziali di V coincidono con le derivate parziali seconde di U :

${\frac {\partial V_{i}}{\partial j}}(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}U}{\partial i\,\partial j}}(x,y,z)$   (dove i,j = x,y,z)

e le derivate parziali seconde non dipendono dall'ordine di derivazione se il campo vettoriale è di classe C¹ (A) Teorema di Schwarz.

I campi vettoriali il cui rotore è nullo si dicono irrotazionali.

Da notare che questa condizione è solo necessaria: un campo conservativo è sempre irrotazionale, ma non è detto che un campo irrotazionale sia conservativo. Una condizione sufficiente è data dal lemma di Poincaré:

Un campo irrotazionale è anche conservativo se l'insieme in cui esso è definito è un insieme aperto stellato (o più in generale un insieme semplicemente connesso).

Il gradiente di un campo scalare è ovviamente sempre conservativo: il suo potenziale è semplicemente lo stesso campo scalare cambiato di segno. Altrettanto ovviamente è anche sempre irrotazionale (sempre se il campo scalare è di classe C²(A) altrimenti cadono le ipotesi del teorema di schwarz e le derivate miste non commutano tra loro).

Definizione in forma integrale

Le condizioni viste sopra sono condizioni sotto forma differenziale. Si possono dare le corrispondenti condizioni necessaria e sufficiente in forma integrale:

Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo è che l'integrale curvilineo lungo qualsiasi linea chiusa l sia nullo:

$\oint _{l}\mathbf {V} \cdot d\mathbf {s} =0$

il che equivale a dire che l'integrale curvilineo non dipende dal cammino di integrazione, ma solo dai punti di partenza e di arrivo. Questa formulazione consente di calcolare esplicitamente la differenza di potenziale tra due punti A e B:

$\int _{A}^{B}\mathbf {V} \cdot d\mathbf {s} =U(B)-U(A)=\int _{A}^{B}\nabla Ud\mathbf {s}$

Quest'ultima formula è utile perché è il metodo pratico di calcolare il potenziale di un campo conservativo.

Forza conservativa

Una forza conservativa è una forza agente su un corpo, funzione soltanto della sua posizione, e che costituisce un campo vettoriale conservativo. In questo caso il potenziale corrisponde all'energia potenziale della forza, mentre l'integrale curvilineo corrisponde al lavoro compiuto dalla forza quando il corpo si sposta lungo il cammino di integrazione. Una definizione di forza conservativa, del tutto analoga a quella sopra scritta, è quindi:

Condizione necessaria e sufficiente perché una forza sia conservativa è che il lavoro compiuto su un corpo non dipenda dal cammino da esso percorso, ma solo dai punti di partenza e di arrivo.

Esempi

Campo costante

Un campo costante ha l'espressione

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} =F\mathbf {u}$

dove u è un versore, ossia un vettore di norma unitaria. Per semplicità assumeremo che u sia diretto lungo l'asse z (il che si può sempre ottenere con un'opportuna rotazione di coordinate).

Un tale campo è sempre conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma

$U(\mathbf {r} )=Fz$

Campo centrale

Un campo centrale radiale ha l'espressione

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=f(r){\hat {\mathbf {r} }}\qquad$

dove ${\hat {\mathbf {r} }}$ è il versore nella direzione di r e r è il suo modulo.

Se f(r) è ben definita e non ha patologie che ne precludono l'integrabilità allora il campo è conservativo, in quanto ammette un potenziale della forma

$U(\mathbf {r} )=\int f(r)dr$

In fisica si introduce spesso, ad esempio in elettrostatica, il concetto di potenziale definendolo come il lavoro speso per portare un corpo immerso in un campo di forze conservative da un punto molto lontano (infinito) a un punto r dello spazio:

$U(\mathbf {r} )=-\int _{\infty }^{r}f(r')dr'$

La comodità di questa definizione è che automaticamente il potenziale si annulla all'infinito.

Il campo gravitazionale di una massa puntiforme e il campo elettrostatico di una carica puntiforme sono due esempi di campi centrali, e quindi sono sempre conservativi.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Campo irrotazionale
• Rotore
• Gradiente
• Integrale di linea di seconda specie
• Campo vettoriale solenoidale
• Campo di forze
• Forza conservativa