Punto di equilibrio iperbolico

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In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

\dot x = f(x)

‎è un punto di equilibrio x_0 tale per cui, se:

\dot u = D f(x_0)u

è la linearizzazione del sistema in un intorno di x_0, nessuno degli autovalori della matrice  D f(x_0) ha parte reale nulla.[1]

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia F: \R^n \to \R^n un campo vettoriale di classe C^1 con un punto di equilibrio (anche detto punto critico) p, ovvero un punto tale che:

F(p)=0

Sia J_F(p) la matrice Jacobiana di F al punto p. Se J_F(p) non ha autovalori con parte reale nulla, allora p è iperbolico.[2]

Una soluzione \phi_t(x_0) dell'equazione \dot x = f(x) che definisce il sistema (in generale non lineare), con f \in C^1, è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale x_0. Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per x_0. Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo H che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

H \circ \phi_t(x_0) = e^{At} H(x_0)

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il seguente sistema non lineare:

\frac{ dx }{ dt } = y
\frac{ dy }{ dt } = -x-x^3-\alpha y \qquad \alpha \ne 0

Il punto (0,0) è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

J(0,0) = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & -\alpha \end{pmatrix}

Gli autovalori della matrice sono:

\lambda_{1,2} = \frac{-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-4} }{2}

e hanno parte reale non nulla per \alpha \ne 0. Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di (0,0). Quando \alpha=0, il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in (0,0).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W.S. Koon - Introduction to Autonomous Equations
  2. ^ Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Edward Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1994.
  • (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]