Punto di equilibrio iperbolico

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In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

è un punto di equilibrio tale per cui, se:

è la linearizzazione del sistema in un intorno di , nessuno degli autovalori della matrice ha parte reale nulla.[1]

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo vettoriale di classe con un punto di equilibrio (anche detto punto critico) , ovvero un punto tale che:

Sia la matrice Jacobiana di al punto . Se non ha autovalori con parte reale nulla, allora è iperbolico.[2]

Una soluzione dell'equazione che definisce il sistema (in generale non lineare), con , è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale . Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per . Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il seguente sistema non lineare:

Il punto è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

Gli autovalori della matrice sono:

e hanno parte reale non nulla per . Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di . Quando , il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W.S. Koon - Introduction to Autonomous Equations
  2. ^ Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Edward Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1994.
  • (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]