Teorema di Hartman-Grobman

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In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici, il teorema di Hartman-Grobman o teorema di linearizzazione è un importante teorema che descrive il comportamento di un sistema dinamico nell'intorno di un punto di equilibrio iperbolico.

Fondamentalmente il teorema afferma che il comportamento di un sistema dinamico nei pressi di un punto di equilibrio iperbolico è qualitativamente simile a quello della sua linearizzazione intorno a quel punto. Quindi utilizzando la sua linearizzazione se ne possono studiare più agevolmente alcune caratteristiche.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione liscia con un punto di equilibrio iperbolico , cioè tale che e tale che nessun autovalore della matrice jacobiana di al punto abbia parte reale pari a 0. Allora esistono un intorno di e un omeomorfismo tale che e tale che in il flusso di è topologicamente coniugato da al flusso della sua linearizzazione .[1][2][3]

In generale, anche se la funzione è infinitamente differenziabile, l'omomorfismo non deve necessariamente essere una funzione liscia e nemmeno localmente lipschitziana. Tuttavia deve soddisfare la condizione di Hölder, con un esponente che dipende dalla costante di iperbolicità di .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema in due dimensioni nelle variabili che evolve secondo la legge data delle equazioni:

Vi è un punto di equilibrio nell'origine; in prossimità di esso la trasformazione data da:

è una funzione liscia tra le coordinate di partenza e le nuove . Nelle nuove coordinate il sistema si trasforma nella sua linearizzazione:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ D. M. Grobman, О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений [Homeomorphisms of systems of differential equations], in Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 128, 1959, pp. 880–881.
  2. ^ Philip Hartman, A lemma in the theory of structural stability of differential equations, in Proc. A.M.S., vol. 11, nº 4, agosto 1960, pp. 610–620, DOI:10.2307/2034720. URL consultato il 28 maggio 2010.
  3. ^ Philip Hartman, On local homeomorphisms of Euclidean spaces, in Bol. Soc. Math. Mexicana, vol. 5, 1960, pp. 220–241.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]