Distribuzione di Rayleigh

Distribuzione di Rayleigh
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$\sigma >0\$
Supporto	$\mathbb {R} ^{+}$
Funzione di densità	${\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Funzione di ripartizione	$1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Valore atteso	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
Mediana	$\sigma {\sqrt {\log(4)}}$
Moda	$\sigma \$
Varianza	$(2-{\frac {\pi }{2}})\sigma ^{2}$
Indice di asimmetria	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0,631$
Curtosi	$-2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx -0,245$
Entropia	$1+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}\gamma$ con $\gamma$ la costante di Eulero-Mascheroni
Funzione generatrice dei momenti	$1+{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\Big (}{\text{erf}}{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}+1{\Big )}$ con erf la funzione degli errori
Funzione caratteristica	$1-{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}{\Big (}w{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}-i{\Big )}$ con w la funzione degli errori complessa

In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto $(X,Y)$ nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.

Prende il nome da Lord Rayleigh.

Definizione

La distribuzione di Rayleigh di parametro $\sigma ^{2}>0$ descrive la variabile aleatoria $Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$, dove $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale ${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(z)={\frac {z}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale, $\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$, sfruttando l'isotropia del vettore $(X,Y)$:

$f(z)=\int _{x^{2}+y^{2}=z^{2}}\phi (x)\phi (y)d\mu =2\pi z{\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

La sua funzione di ripartizione è

$F(z)=1-e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

La variabile aleatoria $kZ={\sqrt {(kX)^{2}+(kY)^{2}}}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro $k^{2}\sigma ^{2}$.

Caratteristiche

La variabile aleatoria $Z$ con distribuzione di Rayleigh di parametro $\sigma ^{2}$ ha

• momenti semplici

$\mu _{n}=E[Z^{n}]=(2\sigma ^{2})^{\frac {n}{2}}\Gamma (1+{\tfrac {n}{2}})$

dove $\Gamma$ è la funzione Gamma, con $\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)={\tfrac {n}{2}}!$ se $n$ è pari.

In particolare si ottengono

• la speranza matematica

$E[X]={\sqrt {{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}}}$;

• la varianza

${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=2\sigma ^{2}-{\tfrac {\pi }{2}}\sigma ^{2}={\tfrac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$;

• gli indici di asimmetria e curtosi

$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}{\pi -3}}{(4-\pi )^{\frac {3}{2}}}}\approx 0,631$ e $\gamma _{2}=-2{\frac {3\pi ^{2}-12\pi +8}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0,245$.

I quantili $q_{\alpha }$ di ordine $\alpha$ sono

$q_{\alpha }={\sqrt {2\sigma ^{2}\log {\frac {1}{1-\alpha }}}}$;

in particolare

• la mediana è ${\sqrt {2\sigma ^{2}\log 2}}={\sqrt {\sigma ^{2}\log 4}}$.

Statistica

Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro $\sigma ^{2}$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è

$S^{2}={\frac {X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}}{2n}}$.

Altre distribuzioni

Se $Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro $\sigma ^{2}$ allora $(Z/\sigma )^{2}$ segue la distribuzione chi quadrato $\chi ^{2}(2)$, ovvero la distribuzione esponenziale ${\mathcal {E}}({\tfrac {1}{2}})$.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza ${\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}$ dall'origine di un vettore $(X,Y,Z)$ nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.

La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto $(X,Y)$, prendendo $X$ e $Y$ non centrate.

Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, fornendo un'interpolazione tra la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Rayleigh.

Voci correlate

• Distribuzione normale
• John William Strutt Rayleigh

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Rayleigh, su MathWorld, Wolfram Research.