Discussione:E (costante matematica)

E (costante matematica)
Argomento di scuola secondaria di II grado
Materia	matematica
Dettagli
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Progetto Wikipedia e scuola italiana

Hebrew Wikipedia

hi im from the hebrew wikipedia. we succed changing the name of the aritcle to e. if u want to do it u can use this letter (℮). <= only this one... otherwise it won't work well. good luck. the Hebrew Wikipedia.

Utilizzi non matematici di e

Come riportato dalla versione inglese di questa voce, e dalle pagine su Donald Knuth delle principali wikipedie (pure da quella italiana), Knuth è un informatico e professore di informatica (computer science). Nonostante questa scienza si fondi sulla matematica, non credo che definire Knuth un matematico sia preciso. --FrAnCiS 12:36, 12 giu 2006 (CEST)

considerando che Knuth ha iniziato la sua carriera come professore associato di matematica e che ha scritto Concrete Mathematics, ritengo che al più può essere indicato "matematico e informatico" e organista. Sicuramente non "programmatore informatico"... -- .mau. ✉ 14:14, 12 giu 2006 (CEST)

Incipit

Ho modificato come segue l'incipit dell'articolo:

La costante matematica è uno dei numeri più importanti della matematica in quanto la derivata della funzione f(x) = ex è sè stessa. Questo proprietà fa sì che la la funzione f(x) = ex e le funzioni da essa composte risolvano tutta una classe di equazioni differenziali che esprimono in termini matematici i più importanti problemi fisici.

So che questo potrà generare delle polemiche. Io sono un ingegnere e per noi ingegneri "e" non è un artificio matematico, non è il limite di una serie ma un numero molto utile. Perà sono sicuro che per ai matematici puri darà fastidio che "e" venga ricordato per la sua applicabilità ai problemi terreni e quindi sono pronto a discutere insieme l'incipit.

Non sono daccordo con dire che "e" è importante perchè è la base del logaritmo naturale, la domanda seguente è evidente, e perchè il logaritmo naturale è importante? Così come non sono daccordo con iniziare l'aricolo con una serie che converge ad "e", esistono serie che convergono a qualsiasi cosa... ma perchè tra tutte le serie ricordiamo quelle che convergono ad "e"... perchè sto numero strambo, non naturale, non razionale, non algebrico, ha un suo posto al centro della matematica e un altro no?

Io sono fortemente convinto che l'importanza di e sia legata alla derivata della funzione ex e mi piacerebbe se un matematico di professione mi aiutasse ad esprimere bene questo concetto, senza svilire l'importanza di e alla sua applicabilità ai problemi pratici.

Saluti --Vin79 01:32, 12 set 2007 (CEST)

Non ne farei una questione di "approccio pratico" contro "approccio teorico": l'unico problema che vedo nella tua modifica è nel fatto che adesso l'incipit è comprensibile solamente da chi conosce le derivate. E' vero anche che non era una cosa felice presentare il numero come "base del logaritmo naturale" quando poi questo link presenta il logaritmo naturale come "il logaritmo in base e".--Pokipsy76 09:15, 12 set 2007 (CEST)

In effetti l'incipit è da migliorare, sono d'accordo che parli della derivata, senza però entrare nel dettaglio perché un incipit deve durare poche righe e dare un quadro generale. Pe adesso ho spostato il testo sotto. Ylebru dimmela 10:22, 12 set 2007 (CEST)

Sono daccordo con Pokipsy76 quando dice che il mio incipit era comprensibile solo a chi conosce le derivate. D'altro canto si potrebbe osservare che è difficile che qualcuno si interessi a e senza conoscere le derivate, ma non è il punto. Proponete un altro incipit per favore, qualcosa che possa spiegare ad un bambino perchè e è importante. Perchè pi greco è importante? Perchè descrive il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro! Perchè g è importante (costante fisica) perchè un grave nel vuoto accelera secondo g! Perchè e è famoso?

Ho trovato una soluzione che spero condividirete. Definiamo la funzione esponenziale come serie, ed "e" come suo valore in 1 e il logaritmo naturale come funzione inversa. Devo ancora rispolvere il problema della Formula di Eulero ovvero della definizione di funzione esponenziale nel campo complesso. --Vin79 21:05, 12 set 2007 (CEST)

piacerebbe se inseriste commenti sulla mia pagine --Vin79 21:29, 12 set 2007 (CEST) o dove è possibile discutere simultaneamente di tutte le voci connesse a e (costante matematica)

Ho sostituito "formulazione" con "definizione". In una pagina di matematica è normale iniziare con una introduzione generale, seguita dalla definizione dell'oggetto (meglio se ce ne sono varie equivalenti), e quindi dalle proprietà. Ylebru dimmela 10:51, 14 set 2007 (CEST)

Per favore prima di modificare la pagina leggete i commenti su Il Luogo Geometrico. Non è diretto a Ylebru

E ed i suoi derivati

cb La discussione proviene dalla pagina Discussioni progetto:Matematica.
– Il cambusiere --Piddu (msg) 17:05, 17 apr 2008 (CEST)

Negli ultimi giorni mi sono interessato al Numero di Nepero e alla Funzione esponenziale, ho visitato un paio di voci su Wikipedia ed avevo notato una certa incoerenza a cui ho tentato di porre rimedio.

Per incoerenza intendo che "e" era definito come la base del logaritmo naturale, e quest'ultimo era definito come il logaritmo in base "e". La funzione esponenziale in campo complesso era definita, nella pagina Funzione esponenziale, con la Formula di Eulero e questa veniva poi dimostrata nella relativa pagina.

Ho tentato di mettere un po' d'ordine nelle cose, ma mi servirebbe un po' di aiuto.

La idea che ho seguito nella riorganizzazione delle pagine è la seguente (che vi prego di commentare e corregere):

• partiamo dalla Funzione esponenziale e la definiamo con la serie o meglio con due serie equivalenti
• dimostriamo l'equivalenza delle due serie presentate nella definizione di Funzione esponenziale
• a questo punto si può definire il Numero di Nepero con la il valore che la Funzione Esponenziale assume in uno, non sarebbe necessario riportare le serie e la dimostrazione della loro equivalenza, ma lo facciamo per chi non ha voglia di leggersi tutte le pagine
• questo è sufficiente per dimostrare che la derivata della funzione esponenziale è se stessa, che credo sia la proprietà più importante della funzione esponenziale, e che deve assumere anche un suo posto di rilievo nella relativa voce. Ho riportato per completezza la dimostrazione, in un cassetto anche nella pagina regole di derivazione
• poi definiamo il logaritmo naturale come funzione inversa della Funzione esponenziale. Possiamo riportare nella pagina anche la definizione come integrale di 1/x, sempre per completezza. Sarebbe bella una definizione della equivalenza delle definizioni, magari in un cassetto. Ma a questo punto facciamo attenzione alla pagine regole di derivazione, perchè se il logaritmo è definito come integrale non serve dimostrare che la sua derivata è 1/x.
• a questo punto si può definire la funzione esponenziale in base a
• manca ora un punto che ritengo cruciale: se la funzione esponenziale è definita con una serie a rigore, non è ancora lecito usare la notazione a^x per x appartenente a Q. Bisogna prima dimostrare che la funzione esponenziale in base a di q coincide con la potenza q-esima di x ovunque questa è definita (ossia per ogni q razionale)
• Si può a questo punto estendere la funzione esponenziale da R a C complesso, come lo si fa? Lo si può fare sempre con la serie, ed a questo punto è possibile dimostrare la Formula di Eulero
• sempre nella pagina Formula di Eulero ci sono diverse dimostrazioni. A me piacerebbe essere sicuro dei seguenti punti 1. quale dimostrazione fu in effetti presentata da Eulero (magari in forma un po' diversa) 2. se la dimostrazione 2 presente nella pagina è corretta. In particolare quello di cui non sono sicuro è se è possibile utilizzare in campo complesso le regole di derivazione che si usano in campo reale. In questo caso sarebbe bello una pagina derivazione in campo complesso od una aggiunta nella pagine regole di derivazione. Ho anche preparato una versione leggermente diversa della dimostrazione nella quale si pensa a z come elemento di R al quadrato. E quindi si deriva la funzione (derivata parziale in R2) rispetto a x ed a y, che è una cosa molto più tranquilla di derivare rispetto a z complesso (per quanto, spero, equivalente)

Scusate la pedanteria, so che Wikipedia è un enciclopedia e non un manuale di Algebra, ma credo sarebbe bello ed elegante avere una coerenza in questo importante campo.

--Vin79 20:31, 13 set 2007 (CEST)

Esist

ono diversi modi di definire e, e non credo sia sensato privilegiarne uno (uno studente di liceo molto probabilmente conosce una definizione soddisfacente e formalmente corretta di e ma non sa neanche cos'è una serie, ad esempio; mentre una definizione più ingenua potrà lasciare insoddisfatto uno studente di Matematica). Inoltre credo che l'incipit non dovrebbe contenere una definizione formale di e, ma solo considerazioni di ordine generale (e del tutto autosufficienti) su cos'è, dove si usa e perché è importante. Iniziare con e è il valore che la funzione esponenziale assume in 1 sarà in linea con il piano che hai presentato (indubbiamente corretto) per definire questo numero, ma non è utile per il profano che vuole capirci qualcosa. Salvatore Ingala (conversami) 22:52, 13 set 2007 (CEST)

Proprio per questo ne voglio discutere, da una parte penso... un ragazzino delle scuole medie, vede scritto "e" e si chiede cos'è? Apre Wikipedia e legge qualcosa di incomprensibile... d'altro canto è Matematica, anche se è un enciclopedia deve essere formalmente corretta... Mi piacerebbe che ci fosse la parte enciclopedica (chi l'ha introdotto, quando, perchè, che usi se ne fanno eccetera) ma d'altro canto credo che leggere che "e" è la base del logaritmo naturale (vecchia versione), non sia molto più comprensibile di "è il valore che la funzione esponenziale assume in 1". Hai una proposta per l'incipit? --Vin79 23:01, 13 set 2007 (CEST)

Certamente non condivido la vecchia versione più di quella attuale. Ci provo:

---

In matematica, $e\;$ è una costante che, insieme a pi greco e all'unità immaginaria, è tra le più importanti per vie delle sue numerose applicazioni, in modo particolare nell'ambito dell'analisi matematica.

Poiché è un irrazionale (e, in particolare, trascendente), non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico: la sua approssimazione con 55 cifre decimali è

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 ...

Essa, talvolta, viene chiamata numero di Eulero in onore del matematico svizzero Eulero, o, più spesso, costante di Nepero in onore del matematico scozzese Nepero, che ha introdotto i logaritmi.

Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale, che associa ad un numero reale $x$ il numero dato dalla potenza $e^{x}$, e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale).

---

E' molto semplice, come credo debba rimanere l'incipit di una voce così importante e così di base. Certo il resto della voce andrebbe molto ampliato. Salvatore Ingala (conversami) 00:18, 14 set 2007 (CEST) PS: Naturalmente sentitevi liberi di modificare la bozza qui sopra :) Salvatore Ingala (conversami) 00:19, 14 set 2007 (CEST)

Ho inserito la tua versione modificando leggermente l'ultima frase come segue:

Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale che associa ad un numero reale x il numero dato dalla potenza $e^{x}$, e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale). In particolare in maniera formale è possibile definire ex come il valore che la funzione esponenziale assume in 1.

Non sono però ancora molto sicuro della affermazione la funzione esponenziale [che] associa ad un numero reale x il numero dato dalla potenza $e^{x}$ la potenza non è definita in campo reale, sarebbe meglio la funzione esponenziale [che] estende al campo dei numeri reali l'operazione di dalla potenza?

Nell'incipit è meglio rimanere sul vago, e non parlare di "estensione ai numeri reali" perché è un concetto troppo difficile. Secondo me non è neppure necessario scrivere una definizione formale ("come il valore che la funzione esponenziale assume in 1"), tanto c'è spazio dopo, ma questa è solo una considerazione estetica. A proposito della dimostrazione 2 della formula di Eulero: sì, le regole di derivazione standard si applicano lo stesso e forse andrebbe detto da qualche parte, in regole di derivazione o in una qualche pagina di Categoria:Analisi complessa. Ylebru dimmela 10:45, 14 set 2007 (CEST)

Non sono daccordo con la modifica "Definizone" al posto di "Formulazione". Come osservato sopra mi sembra poco elegante definire e con una successione ed usare la stessa successione per definire e^x. Credo sia meglio usare la successione nel modo più generale, ossia per definire e^x e poi definire e a partire da e^x. Oltretutto al momento la voce è incoerente perchè riporta entrambe le definizioni in maniera formale è possibile definire ex come il valore che la funzione esponenziale assume in 1 e due righe più in basso Il numero e può essere definito in uno dei seguenti modi equivalenti:. Cosa ne pensano gli altri? Possiamo arrivare ad un compromesso:

*lasciamo il titolo del paragrafo "Definizione

*spostiamo la frase in maniera formale è possibile definire ex come il valore che la funzione esponenziale assume in 1 nel paragragafo

*cambiamo la frase Il numero e può essere definito in uno dei seguenti modi equivalenti in Il numero e può essere espresso in uno dei seguenti modi equivalenti

Credo che sia un compromesso accettabile

Saluti --Vin79 16:18, 14 set 2007 (CEST)

Normalmente in una voce si parte con una introduzione/riassunto generale (che può essere non rigorosa), poi si da una definizione precisa, e quindi si snocciolano le proprietà. Se poi compaiono varie definizioni diverse, questo è una ricchezza: permette al lettore di scegliere la strada che preferisce. In matematica è fondamentale vedere lo stesso oggetto o la stessa teoria da più punti di vista. Nello specifico sono d'accordo sui primi due punti, ma non sul terzo. Ylebru dimmela 16:31, 14 set 2007 (CEST)

Una precisazione: si è optato per la formulazione "il valore che la funzione esponenziale e^x assume in 1" che è assolutamente la formalmente meglio detta, ma non è sbalgiato parlare di "potenza" e^1. La funzione "elevamento" a potenza a^x, a e x numeri reali è definita come la funzione che associa ad x il limite su n di a^b_n ove b_n è una qualsiasi successione che tende a x con n. Si dimostra poi che tale valore è indipendente dalla scelta di b_n e per le proprietà delle potenze tale definizione coincide con quella sugli interi quando x è intero. Pertanto tale funzione è una estensione su R della potenza propriamente detta sugli interi , e viene quindi chiamata "potenza di un numero reale" (senza "estensione ecc...e contorcimenti linguistici vari). Quindi la dicitura potenza e^x con x reale è effettivamente corretta è forse un pò più "friendly" per studenti delle superiori...

errore

Nel testo è presente un errore, per non dire un orrore. Si dice che e-1=[1,0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,ecc.]. Questo non è vero visto che invece e-1=[1,1,2,1,1,4,1,1,6,ecc.]. Bisogna tener presente che nelle frazioni continue SOLO il primo numero può essere uguale a 0 (zero).— Questo commento senza la firma utente è stato inserito da [[Utente:|]] ([[Discussioni utente:|discussioni]] · contributi).

In realtà è più o meno corretto, ha senso definire le frazioni continue anche se qualcuno tra gli a_i è uguale a zero, anche se si perde la (quasi) unicità di rappresentazione. Credo sia stata scelta questa notazione per far risaltare di più la struttura dell'espansione.--Sandro_bt (scrivimi) 17:59, 25 mag 2013 (CEST)

Sandro quello che dici è sbagliato. Nessun numero, al di fuori del primo, può essere zero, visto che altrimenti la ridotta corrispondente varrebbe "infinito" venendo meno ad altre notevoli proprietà delle frazioni continue.--80.104.217.37 (msg) 23:06, 11 giu 2013 (CEST)

Diciamo che è non-standard, e non è un frazione continua in senso stretto, ma interprendandola nel modo naturale ha senso (la frazione è definita come limite, quindi non è un grosso problema se non è definita in uno dei primi valori). Quindi imho non è un orrore e per quanto mi riguarda va bene sia come è adesso che come proponi tu.--Sandro_bt (scrivimi) 00:56, 12 giu 2013 (CEST)

Ricordare le prime cifre di e

Alla pagina Mnemotecniche di Wikiquote, ci sono due filastrocche utili per ricordare una decina di cifre di e.

Volevo inserire un collegamento interprogetto, ma ho fatto pasticci. Quindi ho annullato tutto e riporto qui l'informazione. --Ancelli (msg) 10:45, 25 nov 2015 (CET)

Incipit

[@ Vituzzu] A proposito della tua modifica: quello che non mi piaceva e':

• "numero trascendente con infinite cifre decimali": un numero trascendente ha infinite cifre decimali e quindi scritta cosi' e' un po' ripetitiva (d'accordo che l'incipit non dev'essere per esperti, ma cosi' mi sembra esagerato) e non e' equivalente a irrazionale.
• Dare due definizioni in incipit mi sembra esagerato: nelle scuole si definisce come limite, e a livello piu' alto, piu' che dire che e e' quella serie, si definisce l'esponenziale come serie (poi ovviamente implicitamente questo vuol dire definire e come serie, ma per l'incipit direi che basta l'altra).
• "che nel campo complesso permette di rappresentare le funzioni trigonometriche" imho ha poco senso: l'identita' di Eulero si dimostra solitamente usando le serie di Taylor che gia' da sole danno il prolungamento delle funzioni trigonometriche.
• Infine, per quanto riguarda le equazioni differenziali, mi sembra piu' adatto sulla pagina sull'esponenziale o comunque non da incipit di e.

Ho comunque provato a spostare un po' piu' in alto la funzione esponenziale e il logaritmo e a fare qualche altra piccola modifica, ma l'incipit resta comunque perfettibile.--Sandro_bt (scrivimi) 23:56, 22 mag 2017 (CEST)

Sul primo punto concordo con la ridondanza, ma l'avevo messa perché avevo preferito troncare i decimali subito invece di riempirci l'incipit, i puntini sospensivi risolvono il problema di dare in maniera immediata la conseguenza della trascendenza. Per quanto riguarda la definizione in alcuni settori quella che trovi più spesso è la definizione tramite serie, cosa che en.wiki mette implicitamente in risalto. Rimetterei invece un cenno all'identità di Eulero, senza spiegone (insomma citandola come tale e basta), per la funzione esponenziale ok, anche se in linea di principio non sono contrario in casi simili a incipit un po' più carichi. Diciamo che fondamentalmente sono partito lancia in resta per togliere quel In matematica il simbolo e denota una costante molto importante per via delle sue applicazioni in diversi campi. che trovavo un po' semplicistico e ancora non mi piace tantissimo l'evasività implicita di "molto importante" e "diversi campi". --Vito (msg) 07:01, 23 mag 2017 (CEST)

ho ancora rigirato l'incipit, spostando in fondo e modificando la frase sui tanti usi. -- .mau. ✉ 07:34, 23 mag 2017 (CEST)

@Vito: la citazione della formula di Eulero non l'avevo tolta, avevo solo cambiato la frase. --Sandro_bt (scrivimi) 14:57, 24 mag 2017 (CEST)

Costante armonica

Non riesco a trovare da nessuna parte una fonte attendibile sul fatto che i greci usassero una costante armonica con valore 2,72. Dato che è è il limite di una serie e dato che i greci non avevano i concetti di matematica differenziale, trovo strano potessero avere scoperto e. Una cosa è il pi greco che nasce da un rapporto geometrico e una cosa una costante di tipo computazionale. Suggerirei di rimuovere quell'affermazione a meno che non si indichi una fonte plausibile.--Dario de Judicibus (Scrivimi) 12:36, 29 apr 2018 (CEST)

Credo si riferisse allo studio di un oscillatore armonico con attrito (il periodo dell'oscillazione decade esponenzialmente). In ogni caso ho rimosso, visto che non c'erano riferimenti e che non ho trovato praticamente niente in proposito (e la cosa non è citate in en.wiki che è una "voce di qualità"). Per lo stesso motivo ho tolto il riferimento agli egizi.--Sandro_bt (scrivimi) 21:08, 30 apr 2018 (CEST)

Collegamenti esterni modificati

Gentili utenti,

ho appena modificato 1 collegamento esterno sulla pagina E (costante matematica). Per cortesia controllate la mia modifica. Se avete qualche domanda o se fosse necessario far sì che il bot ignori i link o l'intera pagina, date un'occhiata a queste FAQ. Ho effettuato le seguenti modifiche:

• Aggiunta del link all'archivio https://web.archive.org/web/20040914005158/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html per http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html

Fate riferimento alle FAQ per informazioni su come correggere gli errori del bot.

Saluti.—InternetArchiveBot (Segnala un errore) 07:55, 9 apr 2019 (CEST)

La dimostrazione non è chiara.

Salve. Vorrei far notare che la dimostrazione presente in questa pagina non è molto chiara e salta dei passaggi (ad esempio non riporta il teorema binomiale, cosa che crea difficoltà a coloro che non lo ricordano). Credo che la situazione possa essere migliorata dando meno cose per scontate. Qui c'è un esempio ben fatto della dimostrazione: Wikipedia:Oracolo#Dimostrazione_equivalenza_E_(costante_matematica)#Dimostrazione_dell'equivalenza_delle_due_formulazioni Invito in particolare l'utente [@ Mat4free] che ha rollbackato le mie modifiche sostenendo che vi fossero degli errori (quali? Vorrei capire) e dicendo che non riconosceva l'utilità di ripetere il teorema binomiale. Il problema è che così non si capisce quasi nulla. --Alessandro (msg) 14:05, 3 nov 2019 (CET)

Riporto qui la parte della dimostrazione scritta nella pagina modificata.

Inizio.

Il teorema teorema binomiale dice che

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Ponendo

$a=1$

$b={\frac {1}{n}}$

$t_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}n^{-k}=2+\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}$

Dato che $s_{n}=t_{n}$

$2+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!}}=2+\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=2+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}{\frac {1}{n^{k}}}=2+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {1}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}$

tale che

$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e.$

Fine.

Ora rispondo di seguito.

Per il teorema binomiale c'è il link teorema binomiale dove viene citato, basta cliccarci sopra e leggere la pagina opportuna (volendo si può aggiungere chi sono $a$ e $b$ ma, personalmente, mi sembra veramente un'aggiunta abbastanza superflua che aggiunge poco e rende meno scorrevole la lettura, ma se lo ritenete molto migliorativo per la lettura della voce mi va bene aggiungerlo), e non mi sembra una buona idea in generale ripetere ogni volta che vengono usati i vari teoremi nelle dimostrazioni soprattutto se particolarmente noti come il teorema binomiale (come non si ripetono di solito tutte le definizioni degli oggetti matematici usati).

Inoltre è scritto male: non si "pone" (come c'è scritto) che $t_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}n^{-k}=2+\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}$ ma è una conseguenza dell'applicazione del teorema binomiale.

Infine, dopo aver riscritto $t_{n}$ come $2+\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}$, c'è scritto "Dato che $s_{n}=t_{n}$" che viene usata quindi come ipotesi (anche se non capisco per farci cosa) quando invece è la tesi, cioè quello che dobbiamo dimostrare, e dopo viene ribadito $2+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!}}=2+\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=...\leq s_{n}$ la cui prima uguaglianza è appunto la tesi e, se fosse nota, renderebbe inutili tutti gli altri passaggi.

Spero di essere stato chiaro.

Oltre questo, non ho capito bene cosa non è chiaro nella voce attuale, i passaggi algebrici?--Mat4free (msg) 16:29, 3 nov 2019 (CET)

incipit 2

Secondo me, se si dice che "e" vale approssimativamente "2,71etc...", non si dovrebbero mettere i puntini alla fine in quanto si era appunto premesso che era un valore approssimato. -Idraulico (msg) 14:11, 15 nov 2019 (CET)