Ipersuperficie

La nozione di ipersuperficie generalizza quella di iperpiano e di superficie. Si chiama ipersuperficie una qualunque varietà differenziabile o varietà algebrica di dimensione $n-1$ immersa in uno spazio (generalmente euclideo o affine o proiettivo) di dimensione $n$.

Definizione alternativa (in realtà è un caso particolare della definizione data sopra):

Data una funzione differenziabile $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ tale che per ogni $x\in \mathbb {R} ^{n}$ se $g(x)=0$ allora $\nabla g(x)\neq (0,\ldots ,0)$ (cioè $0$ è un valore regolare), l'insieme di punti:

$S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)=0\}$

definisce una ipersuperficie in $\mathbb {R} ^{n}$.

Esempi

• Gli iperpiani, visti come varietà, sono esempi di ipersuperfici.
• Le superfici nello spazio tridimensionale sono ipersuperfici.
• Le curve sono ipersuperfici del piano.
• Il grafico di una funzione da $\mathbb {R} ^{n}$ in $\mathbb {R}$ è una ipersuperficie in $\mathbb {R} ^{n+1}$.

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