Teorema di compattezza (logica matematica)

Nella logica matematica il Teorema di compattezza è un risultato relativo all'esistenza di modelli per insiemi infiniti di enunciati nell'ambito della logica proposizionale o di un linguaggio del primo ordine.

Logica proposizionale

Nell' ambito della logica proposizionale il teorema afferma che:

Se ogni sottoinsieme finito di un insieme S (possibilmente infinito) di formule della logica proposizionale è soddisfacibile allora anche S è soddisfacibile.

Applicazioni e conseguenze

• Il teorema di compattezza può essere utilizzato per dimostrare che se il teorema dei quattro colori vale per qualsiasi mappa finita allora deve valere anche per mappe infinite.
• Il teorema di compattezza è alla base dell'Analisi non standard in cui grazie a questo teorema di riescono ad affiancare l'infinito e l'infinitesimo attuale ai numero reali standard con la conseguenza di poter rifondare tutta l'analisi matematica senza bisogno del complicato concetto di limite.

Logica del primo ordine

Nel caso di un linguaggio del primo ordine il teorema di compattezza è il seguente:

Se ogni sottoinsieme finito di un insieme $\Phi$ di formule in un linguaggio del primo ordine ha un modello allora anche $\Phi$ ha un modello.

Voci correlate

• Teorema di compattezza (sintattico)

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