Teorema di Pascal

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Teorema di Pascal

In geometria, il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi base della teoria delle coniche. Premesso che sei punti ordinati A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 di una conica individuano un esagono inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Per cinque punti generici passa una sola conica[modifica | modifica wikitesto]

Un risultato classico della teoria delle coniche afferma che per 5 punti generici passa una sola conica. Per "generici" si intende in questo caso che i 5 punti devono essere distinti, e che fra di loro non ve ne sono 4 allineati, cioè giacenti sulla stessa retta: l'aggettivo "generico" suggerisce che 5 punti "presi a caso" soddisfano certamente questa proprietà.

Condizione sul sesto punto[modifica | modifica wikitesto]

Cinque punti generici determinano quindi una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica:

Siano A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 sei punti nel piano e siano B_1, B_2, B_3 i punti comuni, rispettivamente, alle rette A_1A_2 e A_4A_5, alle rette A_2A_3 e A_5A_6, alle rette A_3A_4 e A_6A_1.

I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti B_1, B_2, B_3 appartengono ad una retta, chiamata retta di Pascal.

Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una conica degenere, cioè l'unione di due rette, si traduce nel teorema di Pappo-Pascal.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1847 il teorema fu generalizzato da August Ferdinand Möbius: posto che un poligono con  4n + 2 lati sia iscritto in una conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in  2n + 1 punti. Se  2n di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

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