Teorema di Gelfond

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Il teorema di Gelfond è un teorema provato nel 1934 dal matematico Aleksander Gelfond. Esso risolve parzialmente il settimo problema di Hilbert.

Il teorema afferma che dati due numeri a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, a^b è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come 3^\sqrt{2} , \sqrt{2}^\sqrt{2} , ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di 2^i o di i^i .

Il caso in cui b sia irrazionale e trascendente non è ancora risolto e ancora non sappiamo se e^e , \pi^\pi o \pi^e siano trascendenti. Curiosamente però sappiamo in base al teorema di Gelfond che e^\pi (nota come costante di Gelfond) è trascendente.

Infatti essendo e^{{-\pi}} = i^{{2i}} abbiamo che

e^{{\pi}} = \frac{1}{e^{{-\pi}}} = \frac{1}{i^{{2i}}}

ma essendo i^{{2i}} trascendente in base al teorema di Gelfond e^\pi deve anch'esso esserlo.


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