Serie di Lambert

La funzione $S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$, rappresentata con Matplotlib, usando una versione del metodo della colorazione del dominio

Nella matematica, una serie di Lambert, chiamata così per Johann Heinrich Lambert, è una serie nella forma

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.$

Può essere risommata formalmente espandendo il denominatore:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

dove i coefficienti della nuova serie sono dati dalla convoluzione di Dirichlet di $a_{n}$ con la funzione costante $1(n)=1$:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,$

Questa serie può essere invertita attraverso le serie della formula di inversione di Möbius, e inoltre è un esempio di trasformata di Möbius.

Esempi

Poiché l'ultima somma è tipica nella teoria dei numeri, quasi tutte le funzioni moltiplicative sono sommabili esattamente quando usate in una serie di Lambert. Dunque, per esempio, si ha

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

dove $\sigma _{0}(n)=d(n)$ è la funzione sigma che conta il numero di divisori positivi del numero $n$.

Per funzioni sigma di ordine maggiore, si ottiene

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}$

dove $\alpha$ è un qualunque numero complesso e

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,$

è la funzione sigma.

Le serie di Lambert in cui i termini $a_{n}$ sono funzioni trigonometriche, per esempio, $a_{n}=sin(2nx)$, si possono valutare attraverso di varie combinazioni delle derivate logaritmiche delle funzioni theta di Jacobi.

Altre affascinanti serie di Lambert includono la funzione di Möbius $\mu (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.$

La funzione di Eulero $\varphi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.$

La funzione di Liouville $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}$

con la somma sulla destra simile alla funzione theta di Ramanujan.

Forma alternativa

Sostituendo $q=e^{-z}$ si ottiene un'altra forma comune della serie,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}$

dove

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,$

come prima. Esempi di serie di Lambert in questa forma con $z=2\pi$ compaiono nelle espressioni della funzione zeta di Riemann nei numeri dispari; per dettagli, vedere Costanti zeta.

Uso attuale

Nella letteratura la serie di Lambert viene applicata a una grande varietà di somme. Per esempio, poiché $q^{/}(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})$ è una funzione polilogaritmo, ci si può riferire a queste somme

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}$

come serie di Lambert, assumendo che i parametri sono opportunamente limitati. Dunque

$12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),$

che vale per ogni numero complesso $q$ non sul cerchio unitario, potrebbe essere considerata un'identità delle serie di Lambert. Questa uguaglianza segue in maniera chiara da alcune identità pubblicate dal matematico indiano Srinivasa Ramanujan. Per una profonda esplorazione dei lavori di Ramanujan, si possono leggere i testi di Bruce Berndt.

Bibliografia

• Berry, Michael V. (2010). "Functions of Number Theory". CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. pp. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Lambert, Preston A. (1904). Expansions of algebraic functions at singular points. Proc. Am. Philos. Soc. 43 (176): 164–172. JSTOR 983503.
• Apostol, Tom M. (1976), "Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics", New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Lambert series", Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. "Lambert Series". MathWorld.

Voci correlate

• Costante di Erdős-Borwein
• Funzione aritmetica
• Teoria analitica dei numeri