Costanti zeta

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi.

La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione.

ζ(3)[modifica | modifica wikitesto]

ζ(3) è noto come costante di Apéry.

ζ(5)[modifica | modifica wikitesto]

Simon Plouffe fornisce le identità

\zeta(5)=\frac{1}{294}\pi^5 
-\frac{72}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{2}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}

e

\zeta(5)=
12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \sinh (\pi n)}
-\frac{39}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{1}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}

ζ(7)[modifica | modifica wikitesto]

\zeta(7)=\frac{19}{56700}\pi^7 
-2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7 (e^{2\pi n} -1)}

Si noti che la rappresentazione ha la forma di una serie di Lambert.

ζ(2n+1)[modifica | modifica wikitesto]

Se si definiscono le quantità

S_\pm(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s (e^{2\pi n} \pm 1)} ,

si ottiene una serie di relazioni della forma

0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^{n} + C_n S_-(n) + D_n S_+(n)

dove A_n, B_n, C_n e D_n si congettura siano interi positivi. Plouffe fornisce una tavola di valori:

Coefficienti
n A B C D
3 180 7 360 0
5 1470 5 3024 84
7 56700 19 113400 0
9 18523890 625 37122624 74844
11 425675250 1453 851350500 0
13 257432175 89 514926720 62370
15 390769879500 13687 781539759000 0
17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100
19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0
21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Se esiste una relazione di ricorrenza, non appare affatto ovvia.

Vi sono vari risultati che dimostrano che non tutti i numeri di una famiglia di ζ(2n+1) possono essere razionali. Per quanto riguarda ζ(5), il miglior risultato, a quanto risulta, afferma che almeno uno dei numeri ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.

ζ(2n)[modifica | modifica wikitesto]

Per i valori corrispondenti ad argomenti pari, invece, sono esprimibili mediante i numeri di Bernoulli:


\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

I numeratori e i denominatori sono dati dalle successioni di interi registrate in OEIS con le sigle A046988 e A002432. Alcuni di questi valori sono riprodotti di seguito.

Coefficienti
2n A B
2 6 1
4 90 1
6 945 1
8 9450 1
10 93555 1
12 638512875 691
14 18243225 2
16 325641566250 3617
18 38979295480125 43867
20 1531329465290625 174611
22 13447856940643125 155366
24 201919571963756521875 236364091
26 11094481976030578125 1315862
28 564653660170076273671875 6785560294
30 5660878804669082674070015625 6892673020804
32 62490220571022341207266406250 7709321041217
34 12130454581433748587292890625 151628697551


Se denotiamo con \eta_n il coefficiente B/A di cui sopra,


\zeta(2n) = \sum_{\ell=1}^{\infty}\frac{1}{\ell^{2n}}=\eta_n\pi^{2n},

allora per recursione si ottiene:


\eta_1 = \frac{1}{6};
 
\eta_n=\sum_{\ell=1}^{n-1}(-1)^{\ell-1}\frac{\eta_{n-\ell}}{(2\ell+1)!}+(-1)^{n+1}\frac{n}{(2n+1)!}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica