Semimartingala

In teoria della probabilità, un processo stocastico reale è detto semimartingala se può essere decomposto nella somma di una martingala locale e di un processo adattato a variazione finita. La classe delle semimartingale è il più grande insieme di processi rispetto a cui è possibile definire l'integrale di Itō. Essa comprende parecchi processi, tra cui, per esempio, ogni processo continuo e differenziabile, il moto browniano e il processo di Poisson. Inoltre, martingale, submartingale e supermartingale fanno tutte parte di questa classe.

Definizione

Un processo stocastico reale $X$ definito su uno spazio di probabilità filtrato $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ è detto semimartingala se può essere decomposto come

$X_{t}=M_{t}+A_{t}$

dove $M$ è una martingala locale e $A$ è un processo adattato càdlàg.

Un processo stocastico $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$ in $\mathbb {R} ^{n}$ è una semimartingala se lo è ogni sua componente $X_{i}$.