Martingala locale

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In teoria della probabilità, una martingala locale è un tipo di processo stocastico che soddisfa una versione locale della proprietà delle martingale. I due concetti non coincidono: ogni martingala è una martingala locale, ma non vale il viceversa, anche se ogni martingala locale limitata è una martingala.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un processo stocastico reale e adattato X definito su uno spazio di probabilità filtrato (\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P}) è detto martingala locale se esiste una successione \tau_n:\Omega\to [0,+\infty) di \mathcal{F}_t-tempi di arresto tale che:

  • \tau_n è quasi certamente crescente, ovvero \mathbb{P}(\tau_n\leq \tau_{n+1})=1
  • la successione \tau_n diverge quasi certamente.
  • Il processo
X_t^{\tau_{n}} := X_{\min \{ t, \tau_n \}}

è una \mathcal{F}_t-martingala per ogni n.[1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Baldi, Paolo, op. cit., p. 125

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paolo Baldi, Equazioni differenziali stocastiche, Pitagora editrice, 2000, ISBN 9788837112110.
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