Martingala locale

In teoria della probabilità, una martingala locale è un tipo di processo stocastico che soddisfa una versione locale della proprietà delle martingale. I due concetti non coincidono: ogni martingala è una martingala locale, ma non vale il viceversa, anche se ogni martingala locale limitata è una martingala.

Definizione

Un processo stocastico reale e adattato X definito su uno spazio di probabilità filtrato $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0},\mathbb{P})$ è detto martingala locale se esiste una successione $\tau_n:\Omega\to [0,+\infty)$ di $\mathcal{F}_t$-tempi di arresto tale che:

• $\tau_n$ è quasi certamente crescente, ovvero $\mathbb{P}(\tau_n\leq \tau_{n+1})=1$
• la successione $\tau_n$ diverge quasi certamente.
• Il processo

$X_t^{\tau_{n}} := X_{\min \{ t, \tau_n \}}$

è una $\mathcal{F}_t$-martingala per ogni t.

Bibliografia

• Paolo Baldi, Equazioni differenziali stocastiche, Pitagora editrice, 2000. ISBN 9788837112110

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