Processo di Poisson

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Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie Nt per t>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo t. Inoltre il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come Nb − Na ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da t a Nt(ω), dove ω appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita n) è una funzione a gradino sui numeri interi

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

Definizione infinitesimale[modifica | modifica sorgente]

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

  • N0=0
  • Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie
(N_{t_k}-N_{t_{k-1}}), \dots (N_{t_1}-N_{t_0})\qquad\forall t_0 = 0\leq t_1 < \dots < t_k

sono indipendenti.

  • La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ovvero, per h\rightarrow 0
\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t=1)=\lambda h + o(h)

La costante di proporzionalità λ è detta intensità del processo.

  • La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ovvero
\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h)

Costruzione attraverso i tempi di attesa[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie Sk l'uno dall'altro, dove gli Sk sono distribuzioni esponenziali di parametro λ, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da

N_t=\sup{\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\}}

è un processo di Poisson di intensità λ

Definizione attraverso le probabilità di transizione[modifica | modifica sorgente]

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

  • N0=0
  • Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro λt, ovvero:
\mathbb{P}(N_{t+\tau}-N_t=k)=\frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

  • Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
  • Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
  • Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma \Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right).
  • Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
  • Se Nt e Mt sono due processi di Poisson indipendenti di intensità λ e μ, allora Zt=Nt+Mt è un processo di Poisson di intensità λ+μ.
  • Il processo di Poisson è un processo di Lévy

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • J.R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997.
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