Piano di Sorgenfrey

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In topologia, il piano di Sorgenfrey è un controesempio spesso citato per confutare congetture apparentemente palusibili. Consiste nel prodotto della retta di Sorgenfrey (la retta reale \mathbb{R} dotata della topologia del limite inferiore) con se stessa. La retta e il piano di Sorgenfrey prendono il nome dal matematico americano Robert Sorgenfrey.

Una base per il piano di Sorgenfrey, denotato d'ora in poi con \mathbb{S}, è costituita dall'insieme dei rettangoli che includono il lato sinistro, lo spigolo sinistro inferiore e il lato inferiore mentre non includono lo spigolo inferiore destro, il lato destro, lo spigolo superiore destro, il lato superiore e lo spigolo superiore sinistro. Gli aperti di questa topologia sono costituiti dalle unioni di tali rettangoli.

\mathbb{S} è un esempio di spazio non di Lindelöf ma che è prodotto di spazi di Lindelöf. È anche un esempio di spazio non normale ma che è prodotto di spazi normali. Di questo spazio consideriamo la diagonale secondaria \Delta = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}\}, questo è un sottoinsieme discreto che come sottospazio topologico risulta non essere separabile nonostante il piano di Sorgenfrey lo sia. Ciò dimostra che la separabilità non è ereditata dalla topologia del sottoinsieme. Da notare che K = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{Q}\} e \Delta \setminus K sono insiemi chiusi che non possono essere separati con insiemi aperti; ciò mostra che \mathbb{S} non è uno spazio normale.

Note[modifica | modifica wikitesto]