Matrice di Vandermonde

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In algebra lineare con matrice di Vandermonde si indica una matrice le cui righe (oppure le cui colonne) hanno elementi, a partire da 1, in progressione geometrica: a_{i,j} = \alpha_i^{j-1} (oppure la trasposta a_{i,j} = \alpha_j^{i-1}). Prende il nome dal matematico francese Alexandre-Théophile Vandermonde.

V=\begin{pmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\
\end{pmatrix}

Determinante[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice quadrata di Vandermonde di ordine n ha determinante

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).

cioè è il prodotto di tutte le possibili differenze (contate una volta sola, con segno opportuno) tra i coefficienti.

Dimostrazione

Questa formula si dimostra per induzione sull'ordine n.
Vale per n=1 (prodotto vuoto).
Per il passo induttivo, supponendo vera la formula per l'ordine n-1, il determinante di una matrice di Vandermonde di ordine n può essere calcolato

  • sottraendo ad ogni colonna la colonna precedente moltiplicata per α1


\det(V)= \det\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2 (\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3 (\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n (\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2} (\alpha_n-\alpha_1)
\end{pmatrix}

  • dividendo ogni riga j-esima (tranne la prima) per il termine \alpha_j-\alpha_1, portandolo fuori dalla matrice


\det(V)=
\det\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
(\alpha_2-\alpha_1)^{-1} & 1 & \alpha_2  & \dots & \alpha_2^{n-2}\\
(\alpha_3-\alpha_1)^{-1} & 1 & \alpha_3  & \dots & \alpha_3^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
(\alpha_n-\alpha_1)^{-1} & 1& \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-2}\\
\end{pmatrix}
\prod_{j=2}^n(\alpha_j-\alpha_1)
=\det\begin{pmatrix}
 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\
 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\
 \vdots & \vdots & & \vdots \\
 1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-2}\\
\end{pmatrix}
\prod_{j=2}^n(\alpha_j-\alpha_1)

  • infine applicando la formula del determinante per una matrice di Vandermonde di ordine n-1

\det(V)=\left(\prod_{2\leqslant i < j \leqslant n}(\alpha_j-\alpha_i)\right)\left(\prod_{1=i<j\leqslant n}(\alpha_j-\alpha_i)\right)=\prod_{1\leqslant i < j \leqslant n}(\alpha_j-\alpha_i)
Dimostrazione alternativa
Il determinante di V è chiaramente un polinomio sui coefficienti α1, ..., αn, e si annulla quando due righe sono uguali, ovvero quando αij. Ne consegue che il determinante è pari a un polinomio P(α1, ..., αn) moltiplicato per \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i); secondo la classica formula di Leibniz, il grado del determinante su ogni variabile è n-1, quindi il polinomio P è una costante Pn. Che questa costante sia esattamente 1 si può dimostrare per induzione, confrontando i coefficienti di αnn-1 ottenuti secondo la formula del determinante e secondo l'ipotesi induttiva.


Da quest'espressione per il determinante segue che le matrici quadrate di Vandermonde hanno determinante nullo solo se hanno due coefficienti \alpha_i uguali, ovvero due righe uguali. In particolare, il rango di una generica matrice di Vandermonde è il minimo tra il numero di colonne e il numero di distinti coefficienti \alpha_i (ovvero di righe distinte).

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici di Vandermonde descrivono i problemi di interpolazione polinomiale: i coefficienti di un polinomio P(X)=c_0+c_1X+\ldots+c_{n-1}X^{n-1} il cui grafico nel piano passa per i punti (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n) sono le soluzioni del sistema lineare


\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_{n-1} \end{pmatrix}

Le matrici di Vandermonde e i loro determinanti sono utilizzati per la formula di Frobenius, per le proprietà dei codici BCH, per l'interpolazione di Hermite, per la trasformata di Fourier discreta e per diagonalizzare le matrici compagne di un polinomio.

Le matrici di Vandermonde sono mal condizionate.

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