Matrice compagna

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In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

P(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n

è la matrice quadrata di ordine n avente 1 sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di P, cambiati di segno, sull'ultima riga:

C_P=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
 & \ddots & \ddots \\
 & & 0 & 1 \\
-c_0 & \cdots & -c_{n-2} & -c_{n-1}
\end{pmatrix}

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con 1 sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di P, cambiati di segno, sull'ultima colonna:

C_P^t=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{pmatrix}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La matrice compagna di P ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a P; i suoi autovalori sono le radici di P.
  • Per ogni radice \alpha di P, il vettore (1, \alpha, \alpha^2, \dots , \alpha^{n-1})^t è un autovettore di C_P con autovalore \alpha. In particolare, se tutte le radici di P sono distinte allora C_P è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
  • Per ogni campo k la matrice C_P esprime la moltiplicazione per X sull'anello k(X)/P(X), espresso come spazio vettoriale su k con la base \{1, X, X^2, \dots , X^{n-1} \}. In particolare, se P è irriducibile su k e \alpha è una sua radice, C_P esprime la moltiplicazione per \alpha sul campo k(\alpha).
  • Se A è una matrice n \times n su un campo K, sono equivalenti gli enunciati:
    • A è simile alla matrice compagna su k del proprio polinomio caratteristico;
    • il polinomio caratteristico di A è uguale al suo polinomio minimo;
    • esiste un vettore v \in K^n tale che \{v, Av, A^2 v, \dots , A^{n-1} v \} è una base di K^n.

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice blocchi diagonale di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di A.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
  • (EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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