Matrice compagna

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In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n

P(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n

è la matrice quadrata di ordine n avente 1 sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di P, cambiati di segno, sull'ultima riga:

C_P=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
 & \ddots & \ddots \\
 & & 0 & 1 \\
-c_0 & \cdots & -c_{n-2} & -c_{n-1}
\end{pmatrix}

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con 1 sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di P, cambiati di segno, sull'ultima colonna:

C_P^t=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{pmatrix}

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • La matrice compagna di P ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a P; i suoi autovalori sono le radici di P.
  • Per ogni radice α di P, il vettore (1, α, α2, ..., αn-1)t è un autovettore di C_P di autovalore α. In particolare, se tutte le radici di P sono distinte allora C_P è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
  • Per ogni campo k la matrice CP esprime la moltiplicazione per X sull'anello k(X)/P(X), espresso come spazio vettoriale su k con la base {1, X, X2, ..., Xn-1}. In particolare, se P è irriducibile su k e α è una sua radice, Cp esprime la moltiplicazione per α sul campo k(α).
  • Se A è una matrice n × n su un campo K, sono equivalenti gli enunciati:
    1. A è simile alla matrice compagna su K del proprio polinomio caratteristico;
    2. il polinomio caratteristico di A è uguale al suo polinomio minimo;
    3. esiste un vettore v in Kn tale che {v, Av, A2v, ..., An-1v} è una base di Kn.
    Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice blocchi diagonale di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di A.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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