Lemma di Steinitz

Il lemma di Steinitz (o teorema dello scambio) descrive una delle proprietà fondamentali degli spazi vettoriali di dimensione finita, ovvero che preso un numero di vettori superiore al numero di elementi di una base dello spazio, questi devono essere linearmente dipendenti fra di loro. Il lemma prende il nome dal matematico tedesco Ernst Steinitz.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ di dimensione finita con $B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ insieme di generatori e $A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}\}$ un insieme di vettori linearmente indipendenti di $V$. Allora $m\leq n$.

Cioè: in uno spazio vettoriale di dimensione finita, il numero di vettori linearmente indipendenti che compaiono in un sistema libero non può mai superare la dimensione, cioè il numero di elementi di una base (quindi di ogni base di $V$).

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che sia $n<m$. Ogni vettore di $A$ è generato dai vettori di $B$; ad esempio:

$a_{1}=h_{1}b_{1}+h_{2}b_{2}+\ldots +h_{n}b_{n},$

e almeno uno degli $h_{i}\in K$ non è nullo; possiamo supporre $h_{1}\neq 0$. $b_{1}$ è quindi esprimibile come:

$b_{1}=h_{1}^{-1}(a_{1}-h_{2}b_{2}-\ldots -h_{n}b_{n}).$

Per ogni vettore $v\in V$ possiamo allora scrivere:

$v=k_{1}b_{1}+k_{2}b_{2}+\ldots +k_{n}b_{n}=k_{1}h_{1}^{-1}(a_{1}-h_{2}b_{2}-\ldots -h_{n}b_{n})+k_{2}b_{2}+\ldots +k_{n}b_{n}.$

Segue che $\{a_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$ un sistema di generatori. Possiamo quindi esprimere $a_{2}$ in funzione di questo:

$a_{2}=j_{1}a_{1}+j_{2}b_{2}+\ldots +j_{n}b_{n},$

e almeno uno tra $j_{2},\ldots ,j_{n}$ deve essere diverso da zero, altrimenti $a_{1}$ e $a_{2}$ sarebbero linearmente dipendenti. Quindi è possibile applicare i medesimi passaggi e ottenere un nuovo gruppo di generatori $\{a_{1},a_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}\}$.

Iterando il procedimento $n$ volte si ottiene come insieme di generatori un insieme di vettori $\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$. È quindi possibile scrivere:

$a_{n+1}=l_{1}a_{1}+l_{2}a_{2}+\ldots +l_{n}a_{n},$

il che è contro l'ipotesi che i vettori di $A$ fossero linearmente indipendenti.

Applicazioni

Il lemma di Steinitz è alla base di numerosi teoremi riguardanti gli spazi vettoriali; di seguito si riportano alcune delle sue conseguenze più importanti ($V$ è uno spazio vettoriale a dimensione finita):

• dato un sottoinsieme $L\subseteq V$ di vettori linearmente indipendenti, esiste una base di $V$ che contiene $L$ (estensione della base)
• tutte le basi di $V$ hanno la stessa cardinalità, che è per definizione la dimensione di $V$;
• ogni insieme di vettori linearmente indipendenti con cardinalità uguale alla dimensione di $V$, è una base di $V$;
• ogni insieme di vettori che genera $V$ e ha cardinalità uguale alla dimensione di $V$, è una base di $V$;
• se $U$ è un sottospazio di $V$, allora $\dim(U)\leq \dim(V)$. e l'uguaglianza vale se e solo se $U=V$.