Lemma di Steinitz

Il lemma di Steinitz (o teorema dello scambio) descrive una delle proprietà fondamentali degli spazi vettoriali finitamente generati, ovvero che, preso un numero di vettori superiore al numero dei generatori dello spazio, questi devono essere linearmente dipendenti fra di loro. Il lemma prende il nome dal matematico tedesco Ernst Steinitz.

Enunciato

Siano $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato sul campo $K$, $B = \{ b_1,b_2, \ldots , b_n \}$ un suo sistema di generatori e $A = \{ a_1, a_2, \ldots , a_m \}$ un sistema libero di vettori linearmente indipendenti di $V$. Allora vale la relazione:

$m \leq n$,

ovvero, in uno spazio vettoriale finitamente generato, il numero di vettori che compaiono in un sistema libero non può mai superare il numero di vettori presenti in qualunque sistema di generatori dello spazio.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che sia $m > n$. Ogni vettore di $A$ è generato dai vettori di $B$; ad esempio:

$a_1= h_1 b_1 + h_2 b_2 + \ldots + h_n b_n$,

e almeno uno degli $h_i\in K$ non è nullo; possiamo supporre $h_1 \neq 0$. $b_1$ è quindi esprimibile come:

$b_1= h_1^{-1} (a_1 - h_2 b_2 - \ldots - h_n b_n)$.

Per ogni vettore $v \in V$ possiamo allora scrivere:

$v = k_1 b_1 + k_2 b_2 + \ldots + k_n b_n = k_1 h_1^{-1} (a_1 - h_2 b_2 - \ldots - h_n b_n) + k_2 b_2 + \ldots + k_n b_n$.

Segue che $\{ a_1, b_2, \ldots , b_n\}$ è anch'esso un sistema di generatori. Possiamo quindi esprimere $a_2$ in funzione di questo:

$a_2 = j_1 a_1 + j_2 b_2 + \ldots + j_n bn$,

e almeno uno tra $j_2, \ldots, j_n$ deve essere diverso da zero, altrimenti $a_1$ e $a_2$ sarebbero linearmente dipendenti. Quindi è possibile applicare i medesimi passaggi e ottenere un nuovo gruppo di generatori $\{ a_1, a_2, b_3, \ldots , b_n \}$.

Iterando il procedimento $n$ volte si ottiene come insieme di generatori un insieme di generatori $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$. È quindi possibile scrivere:

$a_{n+1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$,

il che è contro l'ipotesi che i vettori di $A$ fossero linearmente indipendenti.

Applicazioni

Il lemma di Steinitz è alla base di numerosi teoremi riguardanti gli spazi vettoriali; di seguito si riportano alcune delle sue conseguenze più importanti ($V$ è uno spazio vettoriale a dimensione finita):

• dato un sottoinsieme $L \subseteq V$ di vettori linearmente indipendenti, esiste una base di $V$ che contiene $L$ (estensione della base)
• tutte le basi di $V$ hanno la stessa cardinalità, che è per definizione la dimensione di $V$;
• ogni insieme di vettori linearmente indipendenti con cardinalità pari alla dimensione di $V$, è una base di $V$;
• ogni insieme di vettori che genera $V$ e ha cardinalità pari alla dimensione di $V$, è una base di $V$;
• se U è un sottospazio di $V$, allora $\dim(U) \leq \dim(V)$. e l'uguaglianza vale se e solo se $U = V$.