Legge di Gompertz

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La legge di Gompertz è un modello dinamico unidimensionale di popolazione studiato da Benjamin Gompertz.

Studio analitico[modifica | modifica wikitesto]

Simile all'equazione logistica, il modello di Gompertz è formalizzato dall'equazione differenziale:

\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -rN\ln{\left(\frac{N}{K}\right)}

dove N rappresenta la popolazione, mentre le costanti r e K rispettivamente il tasso di crescita ed il carrying capacity, ovvero il termine asintotico della popolazione (definito dalle risorse disponibili nell'ambiente).

Legge di Gompertz.png

La soluzione generale di tale equazione differenziale rappresenta l'equazione della legge di Gompertz. Risolvendo si ottiene:

 N(t) = K e^{c e^{-rt}}

Imponendo la condizione iniziale

 N(0) = N_0

si ottiene il valore di c:

 c = \ln{\left(\frac{N_0}{K}\right)} .

Dalla formula si vede che il limite asintotico della funzione è K, ovvero:

\lim_{t\to\infty} N(t) = K.


Interpretazione della legge[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema che segue il modello di Gompertz si ha per popolazioni poco numerose rispetto alle risorse presenti nell'ambiente una crescita inizialmente esponenziale che in seguito si stabilizza, rallentando fino a diventare quasi lineare una volta che la popolazione si avvicina asintoticamente ad un valore di equilibrio.

Se invece la popolazione è superiore a quanta ne può sostenere l'ambiente, questa diminuisce fino a raggiungere uno stato di equilibrio.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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