Funzione di Gompertz-Makeham

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La funzione di Gompertz-Makeham è una nota legge analitica di sopravvivenza impiegata nella matematica attuariale.

Essa è rappresentata dalla funzione:

 l_x = k \cdot s^{x} \cdot g^{c^{x}}

Le ipotesi che vengono assunte mediante questo modello sono che:

1) sia presente una componente di mortalità per causa accidentale.
2) sia presente una componente dovuta all'invecchiamento con forza crescente al crescere dell'età dell'individuo, ed espressa mediante una forza di mortalità pari a:

\ \mu_x=\alpha + \beta c^{x}

con alfa e beta maggiori di 0, e c maggiore di 1.

Sfruttando la relazione tra forza di mortalità e legge di sopravvivenza, si ottiene:

 l_x = l_a \cdot e^{- \int_a^x {(\alpha + \beta c^{u})du}}=l_a \cdot e^{-[\alpha u + \beta \frac{c^{u}}{\log c}]_a^x}
 = l_a \cdot e^{\alpha a + \beta \cdot \frac{c^{a}}{\log c}}  \cdot e^{-ax}  \cdot e^{-\beta \frac{c^x}{\log c}}

Ponendo infine:

l_a \cdot e^{\alpha a + \beta \cdot \frac{c^{a}}{\log c}}=k
\ e^{-\alpha}=s
\ e^{-\frac{\beta}{\log c}}=g

si ottiene così l'equazione iniziale.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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