Identità di Newton

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In matematica, le identità di Newton, dette anche formule di Newton–Girard, descrivono le relazioni che legano i polinomi simmetrici elementari con altri polinomi simmetrici ottenuti mediante somme di potenze. Possono essere anche interpretate come relazioni che legano i coefficienti di un polinomio monico con le sue radici, più precisamente, con la somma delle radici, la somma dei quadrati delle radici etc. [1] Furono scoperte da Isaac Newton nel 1666 circa; egli probabilmente non era a conoscenza di un precedente lavoro di Albert Girard del 1629. Queste identità hanno applicazioni immediate in molti campi della matematica, fra cui la teoria di Galois, la teoria degli invarianti, la teoria dei gruppi, il calcolo combinatorio, e anche al di fuori di essa, come per esempio nella relatività generale.

Enunciato in forma relativa ai polinomi simmetrici elementari[modifica | modifica sorgente]

Se x1,…, xn sono variabili, si definisca, per k ≥ 1, il polinomio pk(x1,…,xn) come la somma delle k-esime potenze di x1,…, xn, cioè:

p_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i^k = x_1^k+\cdots+x_n^k.

Per k ≥ 0 siano ek(x1,…,xn) i polinomi simmetrici elementari, cioè, la somma di tutti i possibili prodotti di k variabili disitnte:

\begin{align}
e_0(x_1,\ldots,x_n) &= 1,\\
e_1(x_1,\ldots,x_n) &= x_1+x_2+\cdots+x_n,\\
e_2(x_1,\ldots,x_n) &= \textstyle\sum_{1 \leq i<j\leq n}x_ix_j,\\
\dots \\
e_n(x_1,\ldots,x_n) &= x_1x_2\cdots x_n,\\
e_k(x_1,\ldots,x_n) &= 0, \quad\text{per}\ k>n.\\
\end{align}

Le identità di Newton possono essere allora enunciate come:

 ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k-i} (x_1,\ldots,x_n) p_i(x_1,\ldots,x_n),

per tutti i k ≥ 1. In particolare, per i primi valori di k:

\begin{align}
 e_1(x_1,\ldots,x_n) &= p_1(x_1,\ldots,x_n),\\
 2e_2(x_1,\ldots,x_n) &= e_1(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n)-p_2(x_1,\ldots,x_n),\\
 3e_3(x_1,\ldots,x_n) &= e_2(x_1,\ldots,x_n)p_1(x_1,\ldots,x_n) - e_1(x_1,\ldots,x_n)p_2(x_1,\ldots,x_n) + p_3(x_1,\ldots,x_n).\\ 
\end{align}

Caso delle radici di un polinomio[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un polinomio di grado n con esattamente n radici nell'anello in cui si sta lavorando:

 p(\lambda) = \prod_{\alpha=1}^n \left( \lambda - x_\alpha \right) = \sum_{j=0}^n a_j \lambda^j

dove x_\alpha sono le radici e a_j sono i coefficienti.

Definiamo la somma di potenze

 t_j = \sum_{\alpha=1}^n x_\alpha^j

Allora le identità di Newton forniscono:

t_1 = a_1
t_2 = a_1 t_1 - 2 a_2
t_3 = a_1 t_2 - a_2 t_1 + 3 a_3
t_4 = a_1 t_3 - a_2 t_2 + a_3 t_1 - 4 a_4
t_5 = a_1 t_4 - a_2 t_3 + a_3 t_2 - a_4 t_1 + 5 a_5

Da queste relazioni possiamo facilmente ottenere utili formule che esprimono la somma delle potenze in termini dei coefficienti:

t_1 = a_1
t_2 = a_1^2 - 2 a_2
t_3 = a_1^3 - 3 a_1 a_2 + 3 a_3
t_4 = a_1^4 - 4 a_1^2 a_2 + 4 a_1 a_3 + 2 a_2^2 - 4 a_4

Infine possiamo risolvere le espressioni per fornire i coefficienti come somma di potenze:

a_1 = t_1
a_2 = \frac{1}{2} \left( t_1^2 - t_2 \right)
a_3 = \frac{1}{6} \left( t_1^3 - 3 t_1 t_2 + 2 t_3 \right)
a_4 = \frac{1}{24} \left( t_1^4 - 6 t_1^2 t_2 + 3 t_2^2 + 8 t_1 t_3 - 6 t_4 \right)

e così via.

Applicazione per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice (o di un operatore)[modifica | modifica sorgente]

Se il polinomio in considerazione è il polinomio caratteristico di un operatore lineare (o di una matrice), allora le sue radici sono gli autovalori dell'operatore (o della matrice).

Si verifica che in questo caso ciascun  t_j è la traccia della potenzìa j-esima della matrice:

t_j = {\rm tr} \, \left( A^j \right).

Le identità di Newton forniscono così un metodo per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza fare uso del determinante, poiché gli  a_j possono essere ricavati in funzione dei  t_j. Si noti che, per applicare questo metodo, non è necessario calcolare effettivamente gli autovalori, ma solo la loro somma, la somma dei loro quadrati etc. In particolare, gli autovalori potrebbero non esistere nemmeno nel campo in cui si considerano i coefficienti della matrice (per esempio, la matrice potrebbe essere a coefficienti reali ma con autovalori complessi), ma i calcoli che vengono effettuati sono tutti svolti nel campo dei coefficienti della matrice.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Herstein, Topics in Algebra, Esercizio 5.6.10; Dummit and Foote, Abstract Algebra, Esercizio 14.6.21

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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