Funzione logaritmicamente convessa

In matematica, una funzione f è logaritmicamente convessa o superconvessa se ${\log }\circ f$, ossia la composizione della funzione logaritmo con f, è una funzione convessa.

Definizione

Sia $X$ un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale e sia $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ una funzione che assume valori positivi. Allora $f$ è:

• logaritmicamente convessa se $\log \circ f$ è convessa;
• logaritmicamente convessa strettamente se $\log \circ f$ è strettamente convessa.

La funzione costantemente nulla è logaritmicamente convessa per definizione.

Esplicitamente, $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x_{1},x_{2}\in X$ e per ogni $t\in [0,1]$, vale la seguente condizione:

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.$

Allo stesso modo, $f$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni $t\in (0,1)$.

Se $f\not \equiv 0$, allora la precedente disuguaglianza, per ogni $x_{1},x_{2}\in X$ e per ogni $t\in [0,1]$, equivale a:

$\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}).$

E, allo stesso modo, $f\not \equiv 0$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni $t\in (0,1)$.

Condizioni equivalenti

Se $f\not \equiv 0$ è una funzione differenziabile definita su un intervallo $I\subseteq \mathbb {R}$, allora $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se vale la seguente condizione per ogni $x$ e $y$ in $I$:

$\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).$

Ciò è equivalente alla condizione secondo la quale ogni volta che $x$ e $y$ sono in $I$ e $x>y$,

$\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).$

Inoltre, $f\not \equiv 0$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se queste disuguaglianze sono sempre strette.

Se $f$ è due volte differenziabile, allora è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x$ in $I$,

$f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.$

Se la disuguaglianza è sempre stretta, allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente. Tuttavia, il viceversa è falso: è possibile che $f$ sia logritmicamente convessa strettamente e che, per qualche $x$, si abbia $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$. Per esempio, se $f(x)=\exp(x^{4})$, allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente, ma $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$.

Inoltre, $f\colon I\to (0,+\infty )$ è logaritmicamente convessa se e solo se $e^{\alpha x}f(x)$ è convessa per ogni $\alpha \in \mathbb {R}$.

Condizioni sufficienti

Se $f_{1},\ldots ,f_{n}$ sono logaritmicamente convesse e se $w_{1},\ldots ,w_{n}$ sono numeri reali non negativi, allora $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ sono logaritmicamente convesse.

Se $\{f_{i}\}_{i\in I}$ è una qualsiasi famiglia di funzioni logaritmicamente convesse, allora $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ è logaritmicamente convessa.

Se $f\colon X\to I\subseteq \mathbb {R}$ è convessa e $g\colon I\to (0,+\infty )$ è logaritmicamente convessa e non decrescente, allora $g\circ f$ è logaritmicamente convessa.

Proprietà

Una funzione logaritmicamente convessa $f$ è una funzione convessa poiché è la funzione composta della funzione convessa crescente $\exp$ e della funzione $\log \circ f$, che è convessa per definizione. Tuttavia, l'essere logaritmicamente convessa è una proprietà più forte dell'essere convessa: per esempio, la funzione quadrato $f(x)=x^{2}$ è convessa, ma il suo logaritmo $\log f(x)=2\log |x|$ non lo è. Pertanto, la funzione quadrato non è logaritmicamente convessa.

Esempi

• $f(x)=\exp(|x|^{p})$ è logaritmicamente convessa se $p\geq 1$ e logaritmicamente convessa strettamente se $p>1$.
• $f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ è logaritmicamente convessa strettamente su $(0,\infty )$ per ogni $p>0.$
• La funzione gamma di Eulero è logaritmicamente convessa strettamente se viene ristretta ai numeri reali positivi. Infatti, mediante il teorema di Bohr-Mollerup, questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare la funzione gamma di Eulero tra le possibili estensioni della funzione fattoriale agli argomenti reali.

Bibliografia

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. Template:Isbn.
• "Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• (EN) Constantin Niculescu e Lars-Erik Persson, Convex Functions and their Applications - A Contemporary Approach, 1st, Springer, 2006, DOI:10.1007/0-387-31077-0, ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN 1613-5237..
• (FR) Paul Montel, Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 7, 1928, pp. 29-60..
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

Voci correlate

• Funzione convessa
• Logaritmo
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione logaritmicamente concava