Funzione di Mittag-Leffler

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La funzione di Mittag-Leffler E_{\alpha,\beta}(z) è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

 E_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k +\beta)}

dove \Gamma è la funzione Gamma.

Le funzioni di Mittag-Leffler sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali di ordine frazionale.

Casi speciali[modifica | modifica sorgente]

Funzione esponenziale:

E_{1,1}(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma (k + 1)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = \exp(z).

Funzione degli errori:

E_{1/2,1}(z) = \exp(z^2)\operatorname{erfc}(-z).

Somma di una progressione geometrica:

E_{0,1}(z) = \frac{1}{1-z}.

Funzione iperbolica:

E_{2,1}(z) = \cosh(\sqrt{z}).

Rappresentazione integrale di Mittag-Leffler[modifica | modifica sorgente]

E_{\alpha,\beta}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{t^{\alpha-\beta}e^t}{t^\alpha-z} \, dt

dove C passa per -\infty e contiene le singolarità e i punti ramificati dell'integrando.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • M.G. Mittag-Leffler (1903), Une généralisation de l'intégrale de Laplace-Abel, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, 136 pp 537–539.
  • M.G. Mittag-Leffler (1904), Sur la nouvelle fontion E_\alpha (x) , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences 137, pp 554–558.
  • M.G. Mittag-Leffler (1904), Sopra la funzione E_\alpha(x), Rom. Acc. L. Rend. 13_1, 3-5.
  • M.G. Mittag-Leffler (1905), Sur la representation analytique d'une branche uniforme d' une fonction monogene, Acta Mathematica, 29, pp 101–181.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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