Fenomeno di Runge

La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione, in prossimità degli estremi dell'intervallo, peggiora all'aumentare del grado.

In Analisi numerica il Fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.

È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni.

Problema

Consideriamo la funzione:

$f(x) = \frac{1}{1+25x^2}$

Runge trovò che interpolando questa funzione in un insieme di punti $x_i$ equidistanti nell'intervallo $\left[-1, 1 \right]$, con un polinomio $P_n(x)$ di grado $\leq n$, l'interpolazione risultante oscilla in ampiezza verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso $-1$ e $+1$).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \max_{x \in \left[-1,1\right]} \left| f(x) - P_n(x) \right| \right) = +\infty$

Soluzione

Runge dimostrò che non è conveniente usare polinomi di grado elevato per interpolare. Tuttavia, l'oscillazione può essere ridotta usando i nodi di Čebyšëv in alternativa ai punti equidistanti, che permettono di diminuire l'errore massimo all'aumentare del grado del polinomio. Un'altra alternativa è l'uso dell'interpolazione spline, suddividendo la curva in più parti abbassando il grado del polinomio, di solito al terzo grado per quattro punti.

Voci correlate

• Fenomeno di Gibbs per le funzioni sinusoidali
• Spline cubica di Hermite

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