Fenomeno di Runge

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La curva rossa è la funzione di Runge, la curva blu è un polinomio di quinto grado, e la curva verde è un polinomio di nono grado. L'approssimazione, in prossimità degli estremi dell'intervallo, peggiora all'aumentare del grado.

In Analisi numerica il Fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.

È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni.

Problema[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la funzione:

f(x) = \frac{1}{1+25x^2}

Runge trovò che interpolando questa funzione in un insieme di punti x_i equidistanti nell'intervallo \left[-1, 1 \right], con un polinomio P_n(x) di grado \leq n, l'interpolazione risultante oscilla in ampiezza verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso -1 e +1).

È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:

\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \max_{x \in \left[-1,1\right]} \left| f(x) - P_n(x) \right| \right) = +\infty

Soluzione[modifica | modifica wikitesto]

Il controesempio di Runge mostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. Tuttavia è possibile ottenere uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'aumentare del numero di nodi utilizzando i nodi di Čebyšëv in alternativa ai punti equidistanti. Altre alternative sono l'uso dell'interpolazione spline o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).

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