Nodi di Čebyšëv

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In matematica i nodi di Čebyšëv, o radici di Čebyšëv, sono le radici dei polinomi di Čebyšëv. Per ogni n intero naturale il polinomio n-esimo possiede n radici semplici interne all'intervallo [−1, 1]. Una tale n-upla costituisce una buona scelta per una interpolazione su n punti nel suddetto intervallo, in quanto consente di minimizzare l'errore d'interpolazione.

I nodi di Čebyšëv del polinomio n-esimo sono dati da

 x_i := \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) dove    1 \le i \le n.

Dimostrazione

Sia Tn il polinomio di Čebyšëv n-esimo:

 T_n(x) = \cos(n\arccos(x)).

La funzione coseno ha radici periodiche

r_i = (2i-1)\frac{\pi}{2}

per ogni intero i, che dà

 T_n(x_i) = \cos(n\arccos(x_i)) = \cos(r_i) = 0.

Perciò le radici del polinomio di Čebyšëv n-esimo si trovano quando

 n\arccos(x_i) = r_i,

che può essere risolto per xi ottenendo

 x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right). CVD

Per interpolazioni in un intervallo arbitrario [a, b], si può effettuare la trasformazione lineare che manda [−1, 1] nel suddetto intervallo e si ottengono i punti

 x_i = \frac{1}{2} (a+b) + \frac{1}{2} (b-a) \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right).
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