Nodi di Čebyšëv

In matematica i nodi di Čebyšëv, o radici di Čebyšëv, sono le radici dei polinomi di Čebyšëv. Per ogni n intero naturale il polinomio n-esimo possiede n radici semplici interne all'intervallo [−1, 1]. Una tale n-upla costituisce una buona scelta per una interpolazione su n punti nel suddetto intervallo, in quanto consente di minimizzare l'errore d'interpolazione.

I nodi di Čebyšëv del polinomio n-esimo sono dati da

$x_i := \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right)$ dove   $1 \le i \le n.$

Dimostrazione

Sia T_n il polinomio di Čebyšëv n-esimo:

$T_n(x) = \cos(n\arccos(x)).$

La funzione coseno ha radici periodiche

$r_i = (2i-1)\frac{\pi}{2}$

per ogni intero i, che dà

$T_n(x_i) = \cos(n\arccos(x_i)) = \cos(r_i) = 0.$

Perciò le radici del polinomio di Čebyšëv n-esimo si trovano quando

$n\arccos(x_i) = r_i,$

che può essere risolto per x_i ottenendo

$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right).$ CVD

Per interpolazioni in un intervallo arbitrario [a, b], si può effettuare la trasformazione lineare che manda [−1, 1] nel suddetto intervallo e si ottengono i punti

$x_i = \frac{1}{2} (a+b) + \frac{1}{2} (b-a) \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right).$

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